Determine a equação da reta tangente ao circulo de raio 2 e centro
, que passa pelo ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos a equação da reta tangente a um círculo de raio 2 com centro na origem (0,0) que passa pelo ponto (8,0). Estamos trabalhando com Geometria Analítica, especificamente com retas tangentes a círculos. Para resolver isso, vamos precisar entender como determinar retas que tocam o círculo em exatamente um ponto e passam por um ponto externo a ele.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a situação. Temos um círculo centrado em (0,0) com raio 2, e um ponto fora desse círculo em (8,0). Queremos encontrar as retas que tocam o círculo e passam por esse ponto. Sabemos que, geralmente, há duas retas tangentes a um círculo passando por um ponto externo.
Passo 3
Para achar a equação dessas retas, vamos usar a propriedade de que a reta tangente é perpendicular ao raio no ponto de tangência. Ou seja, se temos uma reta tangente ao círculo em um ponto P, a linha que liga o centro do círculo a P é perpendicular à reta tangente.
Passo 4
Vamos chamar o ponto de tangência de
. Como esse ponto está no círculo, ele satisfaz a equação do círculo:
Passo 5
A inclinação do raio que vai de (0,0) a
é
. Como a reta tangente é perpendicular a esse raio, a inclinação da reta tangente será o negativo do inverso da inclinação do raio, ou seja:
Passo 6
Sabemos que a reta tangente passa pelo ponto (8,0), então podemos usar a equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo
e o ponto
:
Passo 7
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar a fração:
Passo 8
Lembrando que
(do círculo), podemos substituir
na equação acima:
Passo 9
Agora que encontramos
, substituímos de volta na equação do círculo para achar
:
Passo 10
Agora temos dois pontos de tangência:
e
. Vamos encontrar as equações das retas tangentes correspondentes a cada ponto.
Passo 11
Usando a inclinação
, para cada ponto:
- Para
:
- Para
:
Passo 12
Agora, usando a equação ponto-inclinação com o ponto (8,0):
- Para
:
- Para
:
Resposta
As equações das retas tangentes são:
e
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Determine a equaçao paramétrica da reta que é paralela ao vetor
e passa pelo ponto
.
Determine a equação paramétrica da reta: que passa pelos pontos
e
.
Determine se
e
geram o espaço vetorial
.
Mostre que se
for um conjunto linearmente independente de vetores, então também o são
.