Determine a equação da reta tangente ao circulo de raio 2 e centro (0,0), que passa pelo ponto (8,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos a equação da reta tangente a um círculo de raio 2 com centro na origem (0,0) que passa pelo ponto (8,0). Estamos trabalhando com Geometria Analítica, especificamente com retas tangentes a círculos. Para resolver isso, vamos precisar entender como determinar retas que tocam o círculo em exatamente um ponto e passam por um ponto externo a ele.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a situação. Temos um círculo centrado em (0,0) com raio 2, e um ponto fora desse círculo em (8,0). Queremos encontrar as retas que tocam o círculo e passam por esse ponto. Sabemos que, geralmente, há duas retas tangentes a um círculo passando por um ponto externo.

Passo 3

Para achar a equação dessas retas, vamos usar a propriedade de que a reta tangente é perpendicular ao raio no ponto de tangência. Ou seja, se temos uma reta tangente ao círculo em um ponto P, a linha que liga o centro do círculo a P é perpendicular à reta tangente.

Passo 4

Vamos chamar o ponto de tangência de x^2 + y^2 = 2^2 Rightarrow x^2 + y^2 = 4 . Como esse ponto está no círculo, ele satisfaz a equação do círculo:

Passo 5

A inclinação do raio que vai de (0,0) a m = -xy é . Como a reta tangente é perpendicular a esse raio, a inclinação da reta tangente será o negativo do inverso da inclinação do raio, ou seja:

Passo 6

Sabemos que a reta tangente passa pelo ponto (8,0), então podemos usar a equação da reta na forma ponto-inclinação:
y - y1 = m(x - x1)
Substituindo y - 0 = -xy(x - 8) e o ponto y = -xy(x - 8) :

Passo 7

Multiplicando ambos os lados por y^2 = -x(x - 8) para eliminar a fração:
y^2 = -x^2 + 8x

Passo 8

Lembrando que x^2 + (-x^2 + 8x) = 4 (do círculo), podemos substituir 8x = 4 na equação acima:
x = 48 = 12

Passo 9

Agora que encontramos (12)^2 + y^2 = 4 , substituímos de volta na equação do círculo para achar 14 + y^2 = 4 :
y^2 = 4 - 14 = 164 - 14 = 154
y = pm raiz152

Passo 10

Agora temos dois pontos de tangência: e . Vamos encontrar as equações das retas tangentes correspondentes a cada ponto.

Passo 11

Usando a inclinação m1 = -12raiz152 = -1raiz15 = -raiz1515 , para cada ponto:
  1. Para m2 = -12-raiz152 = 1raiz15 = raiz1515 :
  1. Para :

Passo 12

Agora, usando a equação ponto-inclinação com o ponto (8,0):
  1. Para y - 0 = -raiz1515(x - 8) :
y = -raiz1515x + 8raiz1515
y - 0 = raiz1515(x - 8)
  1. Para y = raiz1515x - 8raiz1515 :

Resposta

As equações das retas tangentes são:
y = -raiz1515x + 8raiz1515
e
y = raiz1515x - 8raiz1515

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