Mostre que se v1, v2, v3 for um conjunto linearmente independente de vetores, então também o são v1, v2 ;v1, v3 ;v2, v3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que se temos um conjunto de três vetores, v1, v2, v3, que é linearmente independente, então qualquer par desses vetores também é linearmente independente. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre independência linear de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é quando todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se implica que a1v1 + a2v2 + a3v3 = 0.

Passo 3

Agora, queremos mostrar que subconjuntos com dois vetores também são linearmente independentes. Vamos começar com o conjunto v1, v2. Suponha que exista uma combinação linear desses vetores que resulta no vetor zero:
b1v1 + b2v2 = 0

Passo 4

Como v1, v2, v3 é linearmente independente, isso significa que qualquer combinação linear desses três vetores que dá zero só acontece quando todos os coeficientes são zero. Podemos considerar que v3 não está envolvido nessa combinação, então para a igualdade acima ser verdadeira dentro do conjunto original, precisamos que b1 = 0 e b2 = 0.

Passo 5

Portanto, a única solução para b1v1 + b2v2 = 0 é b1 = b2 = 0, o que mostra que o conjunto v1, v2 é linearmente independente.

Passo 6

De forma similar, podemos analisar os outros subconjuntos:
Para v1, v3, suponha que c1v1 + c3v3 = 0. Novamente, como o conjunto original é independente, devemos ter c1 = 0 e c3 = 0.
Para v2, v3, suponha que d2v2 + d3v3 = 0. Da mesma forma, isso implica que d2 = 0 e d3 = 0.

Resposta

Assim, mostramos que todos os subconjuntos v1, v2, v1, v3 e v2, v3 são linearmente independentes.

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