Mostre que se
for um conjunto linearmente independente de vetores, então também o são
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que se temos um conjunto de três vetores,
, que é linearmente independente, então qualquer par desses vetores também é linearmente independente. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre independência linear de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é quando todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se implica que
.
Passo 3
Agora, queremos mostrar que subconjuntos com dois vetores também são linearmente independentes. Vamos começar com o conjunto
. Suponha que exista uma combinação linear desses vetores que resulta no vetor zero:
Passo 4
Como
é linearmente independente, isso significa que qualquer combinação linear desses três vetores que dá zero só acontece quando todos os coeficientes são zero. Podemos considerar que
não está envolvido nessa combinação, então para a igualdade acima ser verdadeira dentro do conjunto original, precisamos que
e
.
Passo 5
Portanto, a única solução para
é
, o que mostra que o conjunto
é linearmente independente.
Passo 6
De forma similar, podemos analisar os outros subconjuntos:
Para
, suponha que
. Novamente, como o conjunto original é independente, devemos ter
e
.
Para
, suponha que
. Da mesma forma, isso implica que
e
.
Resposta
Assim, mostramos que todos os subconjuntos
,
e
são linearmente independentes.
Exercícios relacionados
Determine se
e
geram o espaço vetorial
.
Determine a equação da reta tangente ao circulo de raio 2 e centro
, que passa pelo ponto
.
Nos itens a seguir, use identidades trigonométricas apropriadas para demostrar que as funções de
dadas são linearmente dependentes.
e
Nos itens a seguir, use identidades trigonométricas apropriadas para demostrar que as funções de
dadas são linearmente dependentes.
e