Determine se v1=(1,1,2), v2=(1,0,1) e v3=(2,1,3) geram o espaço vetorial R^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se os vetores , e conseguem gerar todo o espaço vetorial . Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre dependência linear e espaço gerado por vetores. Para resolver isso, vamos verificar se esses vetores são linearmente independentes. Se forem, eles geram ; se não, não geram.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa os vetores serem linearmente independentes. Isso quer dizer que nenhum vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Se conseguirmos expressar um dos vetores como combinação dos demais, então eles são linearmente dependentes.

Passo 3

Vamos ver se algum dos vetores pode ser escrito como combinação dos outros. Olhando para v3 = a cdot v1 + b cdot v2 , vamos tentar encontrar escalares (2, 1, 3) = a cdot (1, 1, 2) + b cdot (1, 0, 1) e 2 = a + b 1 = a + 0 3 = 2a + b tais que:
Substituindo os valores:
Isso nos dá um sistema de equações:

Passo 4

Resolvendo o sistema:
Da segunda equação, 2 = 1 + b implies b = 1 , então 3 = 2(1) + 1 implies 3 = 3 .
Substituindo na primeira equação:
Agora, verificando na terceira equação:
Tudo bateu certinho!

Passo 5

Como encontramos e que satisfazem a equação , isso significa que pode ser escrito como uma combinação linear de e . Portanto, os vetores são linearmente dependentes.

Resposta

Não, os vetores , e não geram o espaço vetorial , pois são linearmente dependentes.

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