Determine: a solução geral da equação
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. A gente tem uma equação diferencial do tipo
com as condições iniciais
e
. O que isso significa é que a gente precisa encontrar uma solução geral para
que satisfaz essa equação e também começa em zero na hora
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem, encontrar a solução complementar e uma solução particular, e então aplicar as condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação homogênea é chamada de solução complementar (
).
Passo 3
Para encontrar a solução complementar, assumimos que
. Substituindo na equação homogênea:
Como
, temos a equação característica:
Passo 4
As raízes complexas
indicam que a solução complementar é:
onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais depois.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa
. Como o lado direito é
, que já aparece na solução complementar, precisamos multiplicar por
para ajustar nossa suposição. Então, tentamos:
Passo 6
Vamos derivar
para encontrar
e
:
Passo 7
Substituindo
,
e
na equação original:
Após simplificar, igualamos os coeficientes dos termos de
e
para encontrar
e
.
Passo 8
Após resolver, encontramos que
e
. Então, a solução particular é:
Passo 9
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução complementar e da solução particular:
Passo 10
Agora, vamos aplicar as condições iniciais
e
para encontrar
e
.
Quando
:
Passo 11
Agora, derivamos
para encontrar
:
Aplicando
:
Resposta
A solução geral da equação
com as condições iniciais
e
é: