Determine: a solução geral da equação x'' + 4x = cos(2t), x(0) = x'(0) = 0.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. A gente tem uma equação diferencial do tipo com as condições iniciais e . O que isso significa é que a gente precisa encontrar uma solução geral para que satisfaz essa equação e também começa em zero na hora . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem, encontrar a solução complementar e uma solução particular, e então aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação homogênea é chamada de solução complementar ( ).

Passo 3

Para encontrar a solução complementar, assumimos que . Substituindo na equação homogênea:
Como , temos a equação característica:

Passo 4

As raízes complexas indicam que a solução complementar é:
onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais depois.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa . Como o lado direito é , que já aparece na solução complementar, precisamos multiplicar por para ajustar nossa suposição. Então, tentamos:

Passo 6

Vamos derivar para encontrar e :

Passo 7

Substituindo , e na equação original:
Após simplificar, igualamos os coeficientes dos termos de e para encontrar e .

Passo 8

Após resolver, encontramos que e . Então, a solução particular é:

Passo 9

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução complementar e da solução particular:

Passo 10

Agora, vamos aplicar as condições iniciais e para encontrar e .
Quando :

Passo 11

Agora, derivamos para encontrar :
Aplicando :

Resposta

A solução geral da equação com as condições iniciais e é:

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