Determine a equação da reta tangente a curva y = f(x) no ponto indicado:
y = 1/x ; P(2, 1/2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto . Isso envolve calcular a derivada da função para achar a inclinação da reta tangente nesse ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a reta tangente a uma curva num ponto dado tem a mesma inclinação que a curva naquele ponto. Para achar essa inclinação, precisamos calcular a derivada da função .

Passo 3

A derivada de pode ser calculada usando a regra do poder. Sabemos que , então a derivada é:

Passo 4

Agora que temos a derivada, vamos encontrar a inclinação da tangente no ponto . Basta substituir por 2 na expressão da derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 5

Com a inclinação e o ponto , podemos usar a fórmula da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:

Passo 6

Agora, vamos simplificar essa equação para a forma :
Adicionando em ambos os lados:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é:

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