Utilizando derivação implícita, determine :

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a derivada usando derivação implícita. O que a gente vai precisar aqui é entender como derivar funções onde as variáveis estão todas misturadas, como nesse caso onde temos e juntos.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação que a gente tem:
Nosso objetivo é achar , que é a taxa de variação de em relação a .

Passo 3

Vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que quando a gente tem uma função de , que depende de , precisamos usar a regra da cadeia.

Passo 4

Derivando o primeiro termo em relação a :
A derivada de é , onde . Então:

Passo 5

Agora, derivando o segundo termo em relação a :
A derivada de é , pela regra da cadeia.

Passo 6

A derivada do lado direito da equação, que é 0, também é 0:

Passo 7

Agora, juntando tudo que a gente derivou:

Passo 8

Agora, vamos isolar para encontrar sua expressão. Primeiro, movemos o termo com para o outro lado:

Passo 9

Por fim, multiplicamos ambos os lados por para isolar :

Resposta

A derivada é:

Exercícios relacionados

Utilizando derivação implícita, determine :
Determine a derivada de cada função a seguir:
Determine a equação da reta tangente à curva no ponto indicado: em
A função é crescente para . Se é a função inversa de neste intervalo, encontre .