Utilizando derivação implícita, determine
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a derivada
usando derivação implícita. O que a gente vai precisar aqui é entender como derivar funções onde as variáveis estão todas misturadas, como nesse caso onde temos
e
juntos.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação que a gente tem:
Nosso objetivo é achar
, que é a taxa de variação de
em relação a
.
Passo 3
Vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que quando a gente tem uma função de
, que depende de
, precisamos usar a regra da cadeia.
Passo 4
Derivando o primeiro termo
em relação a
:
A derivada de é
, onde
. Então:
A derivada de
Passo 5
Agora, derivando o segundo termo
em relação a
:
A derivada de é
, pela regra da cadeia.
A derivada de
Passo 6
A derivada do lado direito da equação, que é 0, também é 0:
Passo 7
Agora, juntando tudo que a gente derivou:
Passo 8
Agora, vamos isolar
para encontrar sua expressão. Primeiro, movemos o termo com
para o outro lado:
Passo 9
Por fim, multiplicamos ambos os lados por
para isolar
:
Resposta
A derivada é:
Exercícios relacionados
Utilizando derivação implícita, determine
:
Determine a derivada de cada função a seguir:
Determine a equação da reta tangente à curva no ponto indicado:
em
A função
é crescente para
. Se
é a função inversa de
neste intervalo, encontre
.