Utilizando derivação implícita, determine d/y d/x : e^(x^2) + ln(y) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a derivada usando derivação implícita. O que a gente vai precisar aqui é entender como derivar funções onde as variáveis estão todas misturadas, como nesse caso onde temos e^(x^2) e juntos.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação que a gente tem:
Nosso objetivo é achar , que é a taxa de variação de y em relação a x.

Passo 3

Vamos derivar ambos os lados da equação em relação a x. Lembre-se que quando a gente tem uma função de y, que depende de x, precisamos usar a regra da cadeia.

Passo 4

Derivando o primeiro termo e^(x^2) em relação a x:
A derivada de é , onde . Então:

Passo 5

Agora, derivando o segundo termo em relação a x:
A derivada de é , pela regra da cadeia.

Passo 6

A derivada do lado direito da equação, que é 0, também é 0:

Passo 7

Agora, juntando tudo que a gente derivou:

Passo 8

Agora, vamos isolar para encontrar sua expressão. Primeiro, movemos o termo com e^(x^2) para o outro lado:

Passo 9

Por fim, multiplicamos ambos os lados por y para isolar :

Resposta

A derivada é:

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