Determine a equação da reta tangente à curva representativa da função no ponto de abscissa .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação da reta tangente à curva da função no ponto onde a abscissa é . Para isso, vamos precisar entender como calcular a derivada da função (que nos dá a inclinação da reta tangente) e usar a fórmula da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de , que é a coordenada do ponto de tangência. A função é , então:
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de para encontrar a inclinação da reta tangente. A derivada de é:
Essa fórmula nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva.

Passo 4

Vamos calcular para obter a inclinação no ponto :
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 5

Com a inclinação e o ponto , usamos a fórmula da reta tangente:
Substituindo os valores:
Essa é a equação da reta tangente na forma ponto-inclinação.

Resposta

A equação da reta tangente é:
Ou, simplificando:

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