Determine a equação da reta tangente à curva representativa da função
no ponto de abscissa
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação da reta tangente à curva da função
no ponto onde a abscissa é
. Para isso, vamos precisar entender como calcular a derivada da função (que nos dá a inclinação da reta tangente) e usar a fórmula da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de
, que é a coordenada
do ponto de tangência. A função é
, então:
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 3
Agora, precisamos calcular a derivada de
para encontrar a inclinação da reta tangente. A derivada de
é:
Essa fórmula nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto
da curva.
Passo 4
Vamos calcular
para obter a inclinação no ponto
:
Então, a inclinação da reta tangente é
.
Passo 5
Com a inclinação
e o ponto
, usamos a fórmula da reta tangente:
Substituindo os valores:
Essa é a equação da reta tangente na forma ponto-inclinação.
Resposta
A equação da reta tangente é:
Ou, simplificando:
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no ponto de abscissa
.
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