Determine a equação da reta tangente à curva no ponto de abscissa indicada:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto onde . Isso envolve cálculo, especificamente a derivada, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o ponto na curva quando . Substituindo na função:
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos achar a derivada da função para determinar a inclinação da reta tangente nesse ponto. A derivada de é:
Isso porque a derivada de é e a derivada de é .

Passo 4

Vamos calcular a derivada no ponto :
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 5

Com a inclinação e o ponto de tangência , podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é .

Exercícios relacionados

Demonstre as identidades, admitindo que as derivadas parciais apropriadas existem e são contínuas.
[Nota: o exercício pede a demonstração das identidades, mas não é necessário fazer isso: precisamos apenas conhecer essas fórmulas, não é necessário justificá-las.]
Use a regra da substituição para calcular as seguintes integrais indefinidas:
Calcule pela definição:
Calcule: