Determine a a equação da reta tangente a curva y = x^2 no ponto P(1, 1).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto . Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas e equações de retas.

Passo 2

A reta tangente a uma curva em um ponto é a reta que toca a curva exatamente nesse ponto e tem a mesma inclinação que a curva naquele ponto. Então, precisamos descobrir qual é a inclinação da curva no ponto .

Passo 3

Para encontrar a inclinação da curva em um ponto, usamos a derivada da função. A derivada de em relação a é:
Essa derivada nos dá a inclinação da curva em qualquer ponto .

Passo 4

Agora, vamos calcular a inclinação no ponto :
Então, a inclinação da reta tangente no ponto é 2.

Passo 5

Com a inclinação conhecida, podemos usar a fórmula da equação da reta que passa por um ponto e tem inclinação :
Aqui, , e .

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula:
Vamos simplificar essa equação para encontrar a forma final da reta tangente.

Passo 7

Distribuindo o 2 e reorganizando os termos:
Adicionando 1 em ambos os lados:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é .

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