Determine a equação da reta tangente à curva no ponto de abscissa .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto onde a abscissa . Para isso, vamos usar cálculo diferencial, mais especificamente a derivada, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de quando . Isso vai nos dar o ponto exato na curva onde a reta tangente vai tocar.
Substituindo na função:
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da função em relação a , que nos dará a inclinação da reta tangente. A derivada de uma função nos diz a taxa de variação dessa função em um ponto específico.
A função é . Vamos usar a regra do quociente para derivar essa função. A regra do quociente diz que:
Onde e .
Primeiro, encontramos as derivadas de e :
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:

Passo 4

Agora que temos a derivada , vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto .
Substituindo na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 5

Com o ponto e a inclinação , podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:
Vamos deixar a equação na forma reduzida:
Multiplicando ambos os lados por 49 para eliminar os denominadores:

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é:

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Calcule a derivada das funções abaixo, utilizando as regras de derivação.
Derive:
.
A equação do movimento de uma partícula é onde está em metros e em segundos. Encontre: a aceleração quando a velocidade for 0 .
Calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.