Determine a equação da reta tangente à curva
no ponto de abscissa
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva
no ponto onde a abscissa
. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, mais especificamente a derivada, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de
quando
. Isso vai nos dar o ponto exato na curva onde a reta tangente vai tocar.
Substituindo
na função:
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada da função
em relação a
, que nos dará a inclinação da reta tangente. A derivada de uma função nos diz a taxa de variação dessa função em um ponto específico.
A função é
. Vamos usar a regra do quociente para derivar essa função. A regra do quociente diz que:
Onde
e
.
Primeiro, encontramos as derivadas de
e
:
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Passo 4
Agora que temos a derivada
, vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto
.
Substituindo
na derivada:
Então, a inclinação
da reta tangente é
.
Passo 5
Com o ponto
e a inclinação
, podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:
Vamos deixar a equação na forma reduzida:
Multiplicando ambos os lados por 49 para eliminar os denominadores:
Resposta
A equação da reta tangente à curva no ponto
é:
Exercícios relacionados
Calcule a derivada das funções abaixo, utilizando as regras de derivação.
Derive:
.
A equação do movimento de uma partícula é
onde
está em metros e
em segundos. Encontre: a aceleração quando a velocidade for 0 .
Calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.