Seja
. Provar que a equação
possui somente uma raíz real
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A gente precisa provar que a equação
tem só uma única raiz real. Para isso, a gente vai usar o conteúdo de Análise de Funções Polinomiais e Derivadas. Vamos precisar calcular a derivada da função e analisar o comportamento dela para ver quantas vezes ela cruza o eixo
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de
. A derivada nos ajuda a entender como a função está crescendo ou diminuindo. A derivada de
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos onde a derivada é igual a zero, ou seja, resolver
:
Então, os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Vamos analisar o comportamento da função
nesses pontos críticos para ver se temos um máximo ou mínimo. Calculando
em
e
:
Para
:
Para
:
Ambos os pontos críticos resultam em valores negativos de
, o que indica que a função não atinge valores positivos entre esses pontos. Isso sugere que a função está sempre abaixo do eixo
nessas regiões.
Passo 5
Como a função
é um polinômio de grau 3 (ímpar), sabemos que ela vai para
quando
vai para
e para
quando
vai para
. Além disso, observamos que não há mudanças de sinal nos pontos críticos, o que significa que a função não cruza o eixo
mais de uma vez.
Resposta
Portanto, a equação
possui somente uma raiz real
.
Exercícios relacionados
Seja
. Calcular aproximadamente a raiz com precisão 0.005.
Seja
. Provar que a equação
possui uma única raiz real.
Determine a equação da reta tangente à função
no ponto indicado:
Calcule
.