Seja . Provar que a equação possui somente uma raíz real .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A gente precisa provar que a equação tem só uma única raiz real. Para isso, a gente vai usar o conteúdo de Análise de Funções Polinomiais e Derivadas. Vamos precisar calcular a derivada da função e analisar o comportamento dela para ver quantas vezes ela cruza o eixo .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de . A derivada nos ajuda a entender como a função está crescendo ou diminuindo. A derivada de é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos onde a derivada é igual a zero, ou seja, resolver :
Então, os pontos críticos são e .

Passo 4

Vamos analisar o comportamento da função nesses pontos críticos para ver se temos um máximo ou mínimo. Calculando em e :
Para :
Para :
Ambos os pontos críticos resultam em valores negativos de , o que indica que a função não atinge valores positivos entre esses pontos. Isso sugere que a função está sempre abaixo do eixo nessas regiões.

Passo 5

Como a função é um polinômio de grau 3 (ímpar), sabemos que ela vai para quando vai para e para quando vai para . Além disso, observamos que não há mudanças de sinal nos pontos críticos, o que significa que a função não cruza o eixo mais de uma vez.

Resposta

Portanto, a equação possui somente uma raiz real .

Exercícios relacionados

Seja . Calcular aproximadamente a raiz com precisão 0.005.
Seja . Provar que a equação possui uma única raiz real.
Determine a equação da reta tangente à função no ponto indicado:
Calcule .