Determine a equação da reta tangente à função no ponto indicado:
(b)
em
.
(b)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
e queremos encontrar a equação da reta tangente a essa função no ponto onde
. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico de uma função.
Passo 2
Para encontrar a equação da reta tangente, precisamos de dois elementos principais:
- O valor da função no ponto
, que nos dá o ponto de tangência. - A derivada da função em
, que nos dá a inclinação da reta tangente.
Passo 3
Vamos começar calculando o valor da função no ponto
:
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a derivada da função
para determinar a inclinação da reta tangente no ponto
. A função é uma fração, então usaremos a regra do quociente para derivar.
A regra do quociente diz que se
, então
Passo 5
Identificando
e
, vamos calcular suas derivadas:
Passo 6
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Passo 7
Agora, calculamos a derivada no ponto
:
Então, a inclinação da reta tangente é
.
Passo 8
Com a inclinação
e o ponto de tangência
, podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:
Passo 9
Simplificando a equação para a forma
:
Convertendo
para vinte quintos:
Então:
Resposta
A equação da reta tangente à função
no ponto
é: