Determine a equação da reta tangente ao gráfico de cada função a seguir no ponto
indicado.
, em
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto
. O conteúdo que estamos trabalhando aqui é cálculo de derivadas, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente. Para resolver, precisaremos da função original e da sua derivada.
Passo 2
Vamos encontrar a derivada da função
, que é representada por
. A derivada nos dirá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função. Agora, aplicando a regra do poder, temos:
Aqui, estamos multiplicando o coeficiente do termo pelo seu expoente e subtraindo 1 do expoente.
Passo 3
Agora que temos a derivada, precisamos calcular o valor de
para saber a inclinação da reta tangente no ponto em que
. Vamos substituir
por
na nossa derivada:
Isso significa que a inclinação da reta tangente no ponto
é
. Ou seja, a reta tangente é horizontal nesse ponto.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o valor da função
para conseguir a coordenada do ponto em que a tangente toca o gráfico. Vamos calcular:
Portanto, a coordenada no ponto é
.
Passo 5
Com isso, temos tudo o que precisamos. Sabemos que a inclinação é
e que a reta passa pelo ponto
. A fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação é dada por:
onde
é o ponto e
é a inclinação. Substituindo nossos valores:
Simplificando, temos:
Resposta
A equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto
é
.
Exercícios relacionados
Use a derivação logarítmica para determinar
:
.
Use a derivação logarítmica para determinar
:
.
Determine a(s) reta(s) tangente(s) ao gráfico da função
perpendiculares(s) à reta
dada:
a) .
a)
Duas cargas puntiformes
, iguais, estão separadas por uma distância
. Uma terceira carga
é obrigada a permanecer na mesma linha que une as anteriores. Mostre que, se
é o deslocamento da terceira carga, a partir do ponto médio das outras duas, existe uma força de restituição para pequenos deslocamentos
, que é aproximadamente linear, i.e.,
.