Determine a equação da reta tangente ao gráfico de cada função a seguir no ponto a indicado.
f(x)=x^3-4 x^2+5, em a=0.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = x^3 - 4x^2 + 5 no ponto a = 0. O conteúdo que estamos trabalhando aqui é cálculo de derivadas, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente. Para resolver, precisaremos da função original e da sua derivada.

Passo 2

Vamos encontrar a derivada da função f(x), que é representada por f'(x). A derivada nos dirá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função. Agora, aplicando a regra do poder, temos:
f'(x) = 3x^2 - 8x
Aqui, estamos multiplicando o coeficiente do termo pelo seu expoente e subtraindo 1 do expoente.

Passo 3

Agora que temos a derivada, precisamos calcular o valor de f'(0) para saber a inclinação da reta tangente no ponto em que x = 0. Vamos substituir x por 0 na nossa derivada:
f'(0) = 3(0)^2 - 8(0) = 0 - 0 = 0
Isso significa que a inclinação da reta tangente no ponto x = 0 é 0. Ou seja, a reta tangente é horizontal nesse ponto.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o valor da função f(0) para conseguir a coordenada do ponto em que a tangente toca o gráfico. Vamos calcular:
f(0) = (0)^3 - 4(0)^2 + 5 = 0 - 0 + 5 = 5
Portanto, a coordenada no ponto é (0, 5).

Passo 5

Com isso, temos tudo o que precisamos. Sabemos que a inclinação é 0 e que a reta passa pelo ponto (0, 5). A fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação é dada por:
y - y1 = m(x - x1),
onde (x1, y1) é o ponto e m é a inclinação. Substituindo nossos valores:
y - 5 = 0(x - 0)
Simplificando, temos:
y - 5 = 0 Rightarrow y = 5

Resposta

A equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = x^3 - 4x^2 + 5 no ponto a = 0 é y = 5.

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