Use a derivação logarítmica para determinar
:
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Nós temos uma função
e precisamos encontrar a derivada dessa função em relação a
, que é representada como
. O conteúdo da matéria que estamos usando aqui é a derivação logarítmica, que é uma técnica muito útil para derivar funções que são potências de outras funções, como a nossa. Para resolver, vamos precisar aplicar logaritmos e regras de derivação.
Passo 2
A primeira coisa que precisamos fazer com a função é aplicar o logaritmo. Assim, vamos tirar o logaritmo natural de ambos os lados. Vamos chamar
, então temos:
Aqui, usamos a propriedade dos logaritmos que diz que
. Portanto, podemos reescrever a equação:
Passo 3
Agora, precisamos derivar ambos os lados dessa equação em relação a
. A derivada do lado esquerdo, usando a regra da cadeia, é:
Para o lado direito, vamos aplicar a regra do produto, já que temos duas funções sendo multiplicadas (
e
). Assim, a derivada do lado direito fica:
Calculando a derivada de
, temos
e para
, a derivada é
(que é o mesmo que
). Assim, a expressão se torna:
Então, nossa equação após derivar fica assim:
Passo 4
Agora, precisamos resolver para
. Multiplicamos ambos os lados por
:
Mas lembrando que
, então substituímos:
Resposta
Agora, podemos simplificar ou deixar a resposta dessa forma! Então, a derivada
é:
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Use a derivação logarítmica para determinar
:
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Use a derivação logarítmica para determinar
:
.
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de cada função a seguir no ponto
indicado.
, em
.
Determine a(s) reta(s) tangente(s) ao gráfico da função
perpendiculares(s) à reta
dada:
a) .
a)