Use a derivação logarítmica para determinar d yd x :
f(x)=(sen x)^cos x.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Nós temos uma função f(x) = (sen x)^cos x e precisamos encontrar a derivada dessa função em relação a x, que é representada como d yd x. O conteúdo da matéria que estamos usando aqui é a derivação logarítmica, que é uma técnica muito útil para derivar funções que são potências de outras funções, como a nossa. Para resolver, vamos precisar aplicar logaritmos e regras de derivação.

Passo 2

A primeira coisa que precisamos fazer com a função é aplicar o logaritmo. Assim, vamos tirar o logaritmo natural de ambos os lados. Vamos chamar y = f(x), então temos:
ln y = ln((sen x)^cos x)
Aqui, usamos a propriedade dos logaritmos que diz que ln(a^b) = b cdot ln a. Portanto, podemos reescrever a equação:
ln y = cos x cdot ln(sen x)

Passo 3

Agora, precisamos derivar ambos os lados dessa equação em relação a x. A derivada do lado esquerdo, usando a regra da cadeia, é:
1y cdot d yd x
Para o lado direito, vamos aplicar a regra do produto, já que temos duas funções sendo multiplicadas ( cos x e ln(sen x)). Assim, a derivada do lado direito fica:
ddx(cos x) cdot ln(sen x) + cos x cdot ddx(ln(sen x))
Calculando a derivada de cos x, temos -sin x e para ln(sen x), a derivada é cos xsen x (que é o mesmo que cot x). Assim, a expressão se torna:
-sin x cdot ln(sen x) + cos x cdot cot x
Então, nossa equação após derivar fica assim:
1y cdot d yd x = -sin x cdot ln(sen x) + cos x cdot cot x

Passo 4

Agora, precisamos resolver para d yd x. Multiplicamos ambos os lados por y:
d yd x = y (-sin x cdot ln(sen x) + cos x cdot cot x)
Mas lembrando que y = (sen x)^cos x, então substituímos:
d yd x = (sen x)^cos x (-sin x cdot ln(sen x) + cos x cdot cot x)

Resposta

Agora, podemos simplificar ou deixar a resposta dessa forma! Então, a derivada d yd x é:
d yd x = (sen x)^cos x (-sin x cdot ln(sen x) + cos x cdot cot x)

Exercícios relacionados

Use a derivação logarítmica para determinar d yd x :
y=(3 x+pi)^x^2.
Use a derivação logarítmica para determinar d yd x :
y=x^ln (x).
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de cada função a seguir no ponto a indicado.
f(x)=x^3-4 x^2+5, em a=0.
Determine a(s) reta(s) tangente(s) ao gráfico da função f(x) perpendiculares(s) à reta r dada:
a) f(x)=x^2+2 x-1 r: x+2 y-5=0.