Duas cargas puntiformes q, iguais, estão separadas por uma distância 2 b. Uma terceira carga q é obrigada a permanecer na mesma linha que une as anteriores. Mostre que, se x é o deslocamento da terceira carga, a partir do ponto médio das outras duas, existe uma força de restituição para pequenos deslocamentos x ll b, que é aproximadamente linear, i.e., F approx q^2 x / pi epsilon0 b^3.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas cargas elétricas iguais, , separadas por uma distância de . Uma terceira carga, também de valor , está posicionada na mesma linha que une as duas primeiras cargas. Queremos mostrar que, se deslocarmos a terceira carga uma pequena distância a partir do ponto médio das outras duas (onde ), existe uma força de restituição que é aproximadamente linear em relação a . Em termos de física, vamos usar a Lei de Coulomb para calcular as forças entre as cargas e aplicar uma aproximação para pequenos deslocamentos.

Passo 2

Vamos começar posicionando as cargas no eixo . Suponha que as duas cargas fixas estejam localizadas em e . A terceira carga está inicialmente no ponto médio, que é . Quando deslocamos essa terceira carga uma pequena distância para a direita (ou esquerda), queremos calcular a força resultante sobre ela devido às outras duas cargas.

Passo 3

A força elétrica entre duas cargas é dada pela Lei de Coulomb:
F = 14pi epsilon0 cdot q1 q2r^2
onde:
  • é a força entre as cargas,
  • e são as magnitudes das cargas,
  • é a distância entre as cargas,
  • é a permissividade do vácuo.

Passo 4

Vamos calcular a força exercida pela carga em F1 = 14pi epsilon0 cdot q^2(b + x)^2 sobre a carga deslocada em F2 = 14pi epsilon0 cdot q^2(b - x)^2 . A distância entre elas é . A força será repulsiva e dirigida para a esquerda:
Similarmente, a força exercida pela carga em sobre a carga deslocada é:
Essa força também é repulsiva, mas dirigida para a direita.

Passo 5

A força total F = F2 - F1 = 14pi epsilon0 ( q^2(b - x)^2 - q^2(b + x)^2 ) sobre a carga deslocada é a diferença entre e :

Passo 6

Para pequenos deslocamentos 1(b pm x)^2 approx 1b^2 ( 1 mp 2xb ) , podemos expandir os denominadores usando uma aproximação de série de Taylor em torno de :

Passo 7

Aplicando essa aproximação na expressão da força:
F approx q^24pi epsilon0 ( 1b^2 (1 + 2xb) - 1b^2 (1 - 2xb) )
Simplificando:
F approx q^24pi epsilon0 b^2 ( 4xb ) = q^2 xpi epsilon0 b^3

Resposta

Portanto, para pequenos deslocamentos F approx q^2 xpi epsilon0 b^3 , a força de restituição é aproximadamente linear e dada por:

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