Duas cargas puntiformes
, iguais, estão separadas por uma distância
. Uma terceira carga
é obrigada a permanecer na mesma linha que une as anteriores. Mostre que, se
é o deslocamento da terceira carga, a partir do ponto médio das outras duas, existe uma força de restituição para pequenos deslocamentos
, que é aproximadamente linear, i.e.,
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas cargas elétricas iguais,
, separadas por uma distância de
. Uma terceira carga, também de valor
, está posicionada na mesma linha que une as duas primeiras cargas. Queremos mostrar que, se deslocarmos a terceira carga uma pequena distância
a partir do ponto médio das outras duas (onde
), existe uma força de restituição que é aproximadamente linear em relação a
. Em termos de física, vamos usar a Lei de Coulomb para calcular as forças entre as cargas e aplicar uma aproximação para pequenos deslocamentos.
Passo 2
Vamos começar posicionando as cargas no eixo
. Suponha que as duas cargas fixas
estejam localizadas em
e
. A terceira carga
está inicialmente no ponto médio, que é
. Quando deslocamos essa terceira carga uma pequena distância
para a direita (ou esquerda), queremos calcular a força resultante sobre ela devido às outras duas cargas.
Passo 3
A força elétrica entre duas cargas é dada pela Lei de Coulomb:
onde:
-
é a força entre as cargas, -
e são as magnitudes das cargas, -
é a distância entre as cargas, -
é a permissividade do vácuo.
Passo 4
Vamos calcular a força exercida pela carga em
sobre a carga deslocada em
. A distância entre elas é
. A força será repulsiva e dirigida para a esquerda:
Similarmente, a força exercida pela carga em
sobre a carga deslocada é:
Essa força também é repulsiva, mas dirigida para a direita.
Passo 5
A força total
sobre a carga deslocada é a diferença entre
e
:
Passo 6
Para pequenos deslocamentos
, podemos expandir os denominadores usando uma aproximação de série de Taylor em torno de
:
Passo 7
Aplicando essa aproximação na expressão da força:
Simplificando:
Resposta
Portanto, para pequenos deslocamentos
, a força de restituição é aproximadamente linear e dada por: