Use a derivação logarítmica para determinar
:
.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para determinarmos a derivada de uma função usando a derivação logarítmica. A função que temos é
. A derivação logarítmica é um método muito útil quando temos funções que são potências, como essa, porque transforma multiplicações em somas, o que facilita na hora de derivar. Para resolver, vamos precisar lembrar da regra da derivada e das propriedades dos logaritmos.
Passo 2
Primeiramente, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação. Isso nos dará:
Usando a propriedade dos logaritmos que diz que
, podemos reescrever a equação como:
Agora, para derivar, vamos usar a regra da cadeia e a regra do produto. Derivando ambos os lados em relação a
, obtemos:
Passo 3
Agora precisamos calcular a derivada de
. Usando a regra da cadeia, temos:
Substituindo isso de volta na nossa equação da derivada, ficamos com:
Passo 4
Agora é só multiplicar ambos os lados por
para isolarmos
:
Agora substituímos
de volta, que é
:
Resposta
Portanto, a derivada
é:
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Determine a equação da reta tangente ao gráfico de cada função a seguir no ponto
indicado.
, em
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