Use a derivação logarítmica para determinar d yd x :
y=(3 x+pi)^x^2.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para determinarmos a derivada de uma função usando a derivação logarítmica. A função que temos é y=(3x+pi)^x^2. A derivação logarítmica é um método muito útil quando temos funções que são potências, como essa, porque transforma multiplicações em somas, o que facilita na hora de derivar. Para resolver, vamos precisar lembrar da regra da derivada e das propriedades dos logaritmos.

Passo 2

Primeiramente, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação. Isso nos dará:
ln(y) = ln((3x+pi)^x^2)
Usando a propriedade dos logaritmos que diz que ln(a^b) = bln(a), podemos reescrever a equação como:
ln(y) = x^2 ln(3x + pi)
Agora, para derivar, vamos usar a regra da cadeia e a regra do produto. Derivando ambos os lados em relação a x, obtemos:
1y dydx = 2x ln(3x+pi) + x^2 ddx(ln(3x+pi))

Passo 3

Agora precisamos calcular a derivada de ln(3x+pi). Usando a regra da cadeia, temos:
ddx(ln(3x+pi)) = 13x+pi cdot ddx(3x+pi) = 13x+pi cdot 3 = 33x+pi
Substituindo isso de volta na nossa equação da derivada, ficamos com:
1y dydx = 2x ln(3x+pi) + x^2 33x+pi

Passo 4

Agora é só multiplicar ambos os lados por y para isolarmos dydx:
dydx = y (2x ln(3x+pi) + x^2 33x+pi)
Agora substituímos y de volta, que é (3x+pi)^x^2:
dydx = (3x+pi)^x^2 (2x ln(3x+pi) + x^2 33x+pi)

Resposta

Portanto, a derivada dydx é:
dydx = (3x+pi)^x^2 (2x ln(3x+pi) + 3x^23x+pi)

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Use a derivação logarítmica para determinar d yd x :
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Use a derivação logarítmica para determinar d yd x :
f(x)=(sen x)^cos x.
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de cada função a seguir no ponto a indicado.
f(x)=x^3-4 x^2+5, em a=0.