Determine a(s) reta(s) tangente(s) ao gráfico da função f(x) perpendiculares(s) à reta r dada:
a) f(x)=x^2+2 x-1 r: x+2 y-5=0.

Passo 1

Vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar as retas tangentes ao gráfico da função f(x) = x^2 + 2x - 1 que sejam perpendiculares à reta r: x + 2y - 5 = 0. Aqui, vamos usar conceitos de derivadas para achar as tangentes e a relação entre as inclinações das retas para determinar a perpendicularidade. Para resolver, vamos precisar da derivada da função f(x) e da inclinação da reta r.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar y na equação da reta r para conseguir a inclinação dela. Ao rearranjar a equação x + 2y - 5 = 0, teremos:
2y = -x + 5 Rightarrow y = -12x + 52
Dessa forma, a inclinação da reta r é mr = -12.

Passo 3

Para encontrar a inclinação da reta tangente à função f(x), precisamos calcular a derivada de f(x). A derivada nos dá a taxa de variação da função em um ponto, que, no nosso caso, também nos diz a inclinação da tangente. Vamos calcular f'(x):
f'(x) = ddx(x^2 + 2x - 1) = 2x + 2
Então, a inclinação da tangente em um ponto x é dada por mt = f'(x) = 2x + 2.

Passo 4

Agora, como queremos que a reta tangente seja perpendicular à reta r, devemos lembrar que as inclinações de duas retas que são perpendiculares estão relacionadas da seguinte forma:
mt cdot mr = -1
Substituindo os valores que encontramos:
(2x + 2) cdot (-12) = -1
Resolvendo essa equação:
-(2x + 2)/2 = -1 Rightarrow 2x + 2 = 2 Rightarrow 2x = 0 Rightarrow x = 0
Assim, encontramos um ponto onde a tangente é perpendicular à reta r.

Passo 5

Para achar a reta tangente, precisamos calcular f(0):
f(0) = 0^2 + 2(0) - 1 = -1
Então, o ponto de tangência é (0, -1). Agora podemos usar a fórmula da reta tangente, que é y - y0 = mt(x - x0), onde (x0, y0) é o ponto de tangência e mt é a inclinação da tangente que encontramos. Substituindo:
y - (-1) = (2(0) + 2)(x - 0) Rightarrow y + 1 = 2x Rightarrow y = 2x - 1

Resposta

A reta tangente ao gráfico da função f(x) que é perpendicular à reta r é: y = 2x - 1.

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