Determine a(s) reta(s) tangente(s) ao gráfico da função
perpendiculares(s) à reta
dada:
a)
.
a)
Passo 1
Vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar as retas tangentes ao gráfico da função
que sejam perpendiculares à reta
. Aqui, vamos usar conceitos de derivadas para achar as tangentes e a relação entre as inclinações das retas para determinar a perpendicularidade. Para resolver, vamos precisar da derivada da função
e da inclinação da reta
.
Passo 2
Primeiro, vamos isolar
na equação da reta
para conseguir a inclinação dela. Ao rearranjar a equação
, teremos:
Dessa forma, a inclinação da reta
é
.
Passo 3
Para encontrar a inclinação da reta tangente à função
, precisamos calcular a derivada de
. A derivada nos dá a taxa de variação da função em um ponto, que, no nosso caso, também nos diz a inclinação da tangente. Vamos calcular
:
Então, a inclinação da tangente em um ponto
é dada por
.
Passo 4
Agora, como queremos que a reta tangente seja perpendicular à reta
, devemos lembrar que as inclinações de duas retas que são perpendiculares estão relacionadas da seguinte forma:
Substituindo os valores que encontramos:
Resolvendo essa equação:
Assim, encontramos um ponto onde a tangente é perpendicular à reta
.
Passo 5
Para achar a reta tangente, precisamos calcular
:
Então, o ponto de tangência é
. Agora podemos usar a fórmula da reta tangente, que é
, onde
é o ponto de tangência e
é a inclinação da tangente que encontramos. Substituindo:
Resposta
A reta tangente ao gráfico da função
que é perpendicular à reta
é:
.
Exercícios relacionados
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de cada função a seguir no ponto
indicado.
, em
.
Use a derivação logarítmica para determinar
:
.
Duas cargas puntiformes
, iguais, estão separadas por uma distância
. Uma terceira carga
é obrigada a permanecer na mesma linha que une as anteriores. Mostre que, se
é o deslocamento da terceira carga, a partir do ponto médio das outras duas, existe uma força de restituição para pequenos deslocamentos
, que é aproximadamente linear, i.e.,
.
Seja
. Determine a equação da reta que é tangente ao gráfico de
e paralela a reta
.