Expresse d yd x em termos de x e y, onde y=f(x) é uma função derivável dada implicitamente pela equação:
a) x e^y+x y=3.

Passo 1

Vamos começar resumindo o enunciado da questão. Precisamos encontrar a derivada dydx em termos de x e y, já que y=f(x) está definida pela equação implícita xe^y + xy = 3. O conteúdo que vamos usar é o cálculo diferencial, mais especificamente, a técnica de derivação implícita. Para isso, vamos precisar aplicar a regra do produto e a regra da cadeia na hora de derivar.

Passo 2

Para encontrar dydx, precisamos derivar a equação xe^y + xy = 3 em relação a x. Vamos derivar ambos os lados da equação:
  1. A derivada de 3 em relação a x é 0.
  2. Agora, para a primeira parte, xe^y, usaremos a regra do produto:
    • A derivada de x é 1 (parte externa).
    • Para e^y, que depende de y, usamos a regra da cadeia. A derivada de e^y é e^y cdot dydx.
Então, temos:
ddx(xe^y) = e^y + x e^y dydx
  1. Agora, vamos derivar a segunda parte, xy, também usando a regra do produto:
    • A derivada de x é 1.
    • A derivada de y em relação a x também deve ser considerada, então:
ddx(xy) = y + x dydx
  1. Agora juntando tudo, derivamos a equação:
ddx(xe^y + xy) = ddx(3)
Fica assim:
e^y + x e^y dydx + y + x dydx = 0

Passo 3

Agora precisamos isolar dydx na equação que encontramos. Vamos reorganizar os termos:
x e^y dydx + x dydx = - e^y - y
Fatorando dydx, fica:
(x e^y + x) dydx = - e^y - y
Assim, podemos isolar dydx:
dydx = - e^y - yx e^y + x

Resposta

Portanto, a expressão para dydx em termos de x e y é:
dydx = - e^y - yx(e^y + 1)

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