Expresse
em termos de
e
, onde
é uma função derivável dada implicitamente pela equação:
a)
.
a)
Passo 1
Vamos começar resumindo o enunciado da questão. Precisamos encontrar a derivada
em termos de
e
, já que
está definida pela equação implícita
. O conteúdo que vamos usar é o cálculo diferencial, mais especificamente, a técnica de derivação implícita. Para isso, vamos precisar aplicar a regra do produto e a regra da cadeia na hora de derivar.
Passo 2
Para encontrar
, precisamos derivar a equação
em relação a
. Vamos derivar ambos os lados da equação:
- A derivada de
em relação a é . - Agora, para a primeira parte,
, usaremos a regra do produto: - A derivada de
é (parte externa). - Para
, que depende de , usamos a regra da cadeia. A derivada de é .
- A derivada de
Então, temos:
- Agora, vamos derivar a segunda parte,
, também usando a regra do produto: - A derivada de
é . - A derivada de
em relação a também deve ser considerada, então:
- A derivada de
- Agora juntando tudo, derivamos a equação:
Fica assim:
Passo 3
Agora precisamos isolar
na equação que encontramos. Vamos reorganizar os termos:
Fatorando
, fica:
Assim, podemos isolar
:
Resposta
Portanto, a expressão para
em termos de
e
é:
Exercícios relacionados
Determine a(s) reta(s) tangente(s) ao gráfico da função
perpendiculares(s) à reta
dada:
.
Use a definição de derivada pra calcular a derivada de cada uma das funções no ponto indicado:
, em
.
Suponha que
seja uma função derivável e dada implicitamente pela equação
Mostre que
em todo
no domínio de
com
.
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de cada função a seguir no ponto
indicado.
, em
.