- Determine a equação da reta tangente ao gráfico de
em
. Depois encontre, se existirem, os pontos do gráfico onde a tangente é horizontal.
a.
a.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto
. Depois, também vamos descobrir se tem algum ponto no gráfico onde essa reta tangente é horizontal. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar as inclinações das retas tangentes.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor de
para saber as coordenadas do ponto
. Substituindo
na função:
Então, o ponto
é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada da função
, que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto
. A derivada de
é:
Então, a derivada
.
Passo 4
Vamos calcular a inclinação da reta tangente no ponto
substituindo
na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente em
é 16.
Passo 5
Com a inclinação e o ponto
, podemos escrever a equação da reta tangente usando a fórmula da reta:
Substituindo
,
e
:
Distribuindo o 16:
Finalmente, isolando
:
Então, a equação da reta tangente é
.
Passo 6
Agora, vamos encontrar os pontos onde a reta tangente é horizontal. Uma reta horizontal tem inclinação zero, ou seja,
. Vamos resolver:
Então,
. Para achar o ponto correspondente, calculamos
:
Então, o ponto onde a reta tangente é horizontal é
.
Resposta
A equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
é
. Além disso, há um ponto no gráfico,
, onde a reta tangente é horizontal.
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