1. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f em P(2, f(2)). Depois encontre, se existirem, os pontos do gráfico onde a tangente é horizontal.
    a. f(x) = 5 x^2 - 4 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto . Depois, também vamos descobrir se tem algum ponto no gráfico onde essa reta tangente é horizontal. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar as inclinações das retas tangentes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor de para saber as coordenadas do ponto . Substituindo na função:
Então, o ponto é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da função , que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto . A derivada de é:
Então, a derivada .

Passo 4

Vamos calcular a inclinação da reta tangente no ponto substituindo na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente em é 16.

Passo 5

Com a inclinação e o ponto , podemos escrever a equação da reta tangente usando a fórmula da reta:
Substituindo , e :
Distribuindo o 16:
Finalmente, isolando :
Então, a equação da reta tangente é .

Passo 6

Agora, vamos encontrar os pontos onde a reta tangente é horizontal. Uma reta horizontal tem inclinação zero, ou seja, . Vamos resolver:
Então, . Para achar o ponto correspondente, calculamos :
Então, o ponto onde a reta tangente é horizontal é .

Resposta

A equação da reta tangente ao gráfico de no ponto é . Além disso, há um ponto no gráfico, , onde a reta tangente é horizontal.

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a. f(x) = 3x^5 + x^3 + 2, [-1, 0].
x sen(x) = 2021
tem infinitas soluções reais.
a. f(x) = |x + 2|, a = -2.
a. f(x) = { x² - 25, se x ≥ 0; 2x + 3, se x < 0 } a = 0.