Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f, no ponto (a, f(a)) sabendo que:
f(x) = x^2 + 3x + 2, (a, f(a)) = (2, 12)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto . Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada. A derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente nesse ponto. Então, para achar a reta tangente, a gente precisa calcular a derivada de e depois avaliar essa derivada em .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de . Usando as regras de derivação:

Passo 4

Agora, vamos avaliar a derivada em para encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto:
Então, a inclinação da reta tangente é 7.

Passo 5

Sabemos que a reta tangente passa pelo ponto e tem inclinação 7. Vamos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Onde é a inclinação e é o ponto pela qual a reta passa. Substituindo os valores:

Passo 6

Vamos simplificar a equação para deixá-la na forma :

Resposta

A equação da reta tangente ao gráfico de no ponto é:

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Determine a derivada das seguintes funções:
f(x) = x
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f, no ponto (a, f(a)) sabendo que:
f(x) = x + raiz(x), (a, f(a)) = (1, 2)
Determine a derivada das seguintes funções:
f(x) = raiz5(x^2)