Linearize a equação e determine o coeficiente de reação
para esta reação de primeira ordem por mínimos quadrados.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente linearizar uma equação de reação de primeira ordem e determinar o coeficiente de reação
(com unidades de dia
) usando o método dos mínimos quadrados. Isso está dentro da área de cinética química, onde estudamos como as concentrações das substâncias mudam com o tempo durante uma reação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para uma reação de primeira ordem, a equação que relaciona a concentração do reagente
com o tempo
é dada por:
onde:
-
é a concentração inicial, -
é a constante de velocidade, -
é o tempo.
Passo 3
Para linearizar essa equação, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
Essa é a forma linear da equação de primeira ordem, onde
é uma função linear de
com inclinação
.
Passo 4
Agora, para determinar o coeficiente
usando o método dos mínimos quadrados, normalmente a gente teria uma tabela com valores de
e
. Com esses dados, plotaríamos
versus
e ajustaria uma reta aos pontos utilizando mínimos quadrados.
Passo 5
O método dos mínimos quadrados nos ajuda a encontrar a melhor reta que minimiza a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores previstos pela reta. A equação da reta ajustada será:
onde:
-
é a inclinação da reta (que será igual a ), -
é o intercepto.
Passo 6
Depois de ajustar a reta, basta identificar a inclinação
da reta. Como
, podemos simplesmente tomar o valor negativo da inclinação para encontrar
:
Resposta
Assim, o coeficiente de reação
é igual ao valor negativo da inclinação obtida ao ajustar uma reta na plotagem de
versus
usando o método dos mínimos quadrados. A unidade de
será dia
.
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Seja
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para que
seja contínua em
.
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.
Resposta: .
Resposta: