Linearize a equação e determine o coeficiente de reação k(d^-1) para esta reação de primeira ordem por mínimos quadrados.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente linearizar uma equação de reação de primeira ordem e determinar o coeficiente de reação (com unidades de dia ) usando o método dos mínimos quadrados. Isso está dentro da área de cinética química, onde estudamos como as concentrações das substâncias mudam com o tempo durante uma reação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma reação de primeira ordem, a equação que relaciona a concentração do reagente [A] = [A]0 , e^-kt com o tempo é dada por:
onde:
  • é a concentração inicial,
  • é a constante de velocidade,
  • é o tempo.

Passo 3

Para linearizar essa equação, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
ln[A] = ln[A]0 - kt
Essa é a forma linear da equação de primeira ordem, onde é uma função linear de com inclinação .

Passo 4

Agora, para determinar o coeficiente usando o método dos mínimos quadrados, normalmente a gente teria uma tabela com valores de e . Com esses dados, plotaríamos versus e ajustaria uma reta aos pontos utilizando mínimos quadrados.

Passo 5

O método dos mínimos quadrados nos ajuda a encontrar a melhor reta que minimiza a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores previstos pela reta. A equação da reta ajustada será:
ln[A] = m t + b
onde:
  • é a inclinação da reta (que será igual a ),
  • é o intercepto.

Passo 6

Depois de ajustar a reta, basta identificar a inclinação k = -m da reta. Como , podemos simplesmente tomar o valor negativo da inclinação para encontrar :

Resposta

Assim, o coeficiente de reação é igual ao valor negativo da inclinação obtida ao ajustar uma reta na plotagem de versus usando o método dos mínimos quadrados. A unidade de será dia .

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