Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto de abscissa
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto onde a abscissa é
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar o coeficiente angular da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o ponto no qual a reta tangente vai tocar o gráfico da função. Para isso, calculamos o valor de
quando
:
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada da função
, que nos dará a inclinação da reta tangente em qualquer ponto
. A derivada de
é:
Isso significa que, para cada valor de
, a inclinação da reta tangente é
.
Passo 4
Vamos calcular a derivada no ponto
:
Portanto, a inclinação da reta tangente no ponto
é
.
Passo 5
Com a inclinação
e o ponto
, podemos usar a fórmula da reta tangente na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos simplificar essa equação para deixá-la na forma
:
Resposta
A equação da reta tangente é
.