Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = 1/x no ponto de abscissa x0 = 1/3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto onde a abscissa é . Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar o coeficiente angular da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto no qual a reta tangente vai tocar o gráfico da função. Para isso, calculamos o valor de quando :
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da função , que nos dará a inclinação da reta tangente em qualquer ponto . A derivada de é:
Isso significa que, para cada valor de , a inclinação da reta tangente é .

Passo 4

Vamos calcular a derivada no ponto :
Portanto, a inclinação da reta tangente no ponto é .

Passo 5

Com a inclinação e o ponto , podemos usar a fórmula da reta tangente na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:

Passo 6

Vamos simplificar essa equação para deixá-la na forma :

Resposta

A equação da reta tangente é .

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