Seja
uma função derivável e inversível. Sabendo que:
calcule a derivada da função inversa
no ponto 3.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função
que é derivável e inversível. Isso significa que ela possui uma função inversa
. As informações fornecidas são os valores de
e suas derivadas em certos pontos:
Precisamos calcular a derivada da função inversa
no ponto 3. Para isso, vamos usar o conceito de derivada de funções inversas.
Passo 2
Lembrando da regra para derivadas de funções inversas: se
é inversível e diferenciável, então a derivada da função inversa no ponto
é dada por
onde
é tal que
.
Passo 3
No nosso caso, queremos calcular
. Isso significa que
. Precisamos encontrar o valor de
tal que
.
Passo 4
O enunciado nos diz que
. Portanto,
é o valor que satisfaz
.
Passo 5
Agora, substituímos
na fórmula da derivada da função inversa:
Sabemos que
.
Passo 6
Substituindo o valor de
na fórmula, temos:
Resposta
A derivada da função inversa
no ponto 3 é
.