Seja f: R -> R uma função derivável e inversível. Sabendo que:
f(2)=3, f(3)=2, f'(2)=2, f'(3)=-1
calcule a derivada da função inversa f^-1 no ponto 3.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função que é derivável e inversível. Isso significa que ela possui uma função inversa . As informações fornecidas são os valores de e suas derivadas em certos pontos:
Precisamos calcular a derivada da função inversa no ponto 3. Para isso, vamos usar o conceito de derivada de funções inversas.

Passo 2

Lembrando da regra para derivadas de funções inversas: se é inversível e diferenciável, então a derivada da função inversa no ponto é dada por
onde é tal que .

Passo 3

No nosso caso, queremos calcular . Isso significa que . Precisamos encontrar o valor de tal que .

Passo 4

O enunciado nos diz que . Portanto, é o valor que satisfaz .

Passo 5

Agora, substituímos na fórmula da derivada da função inversa:
Sabemos que .

Passo 6

Substituindo o valor de na fórmula, temos:

Resposta

A derivada da função inversa no ponto 3 é .

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