Seja f: R -> R uma função derivável, e x0 em R. Qual é a interpretação geométrica de f'(x0) ?

Passo 1

Ok, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que é derivável em todo ponto real, e queremos saber o que representa geometricamente a derivada em um ponto específico . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma derivada e como ela se relaciona com o gráfico da função.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma derivada. A derivada de uma função em um ponto, , mede a taxa de variação da função naquele ponto. Basicamente, ela nos diz quão rápido a função está subindo ou descendo quando nos aproximamos de .

Passo 3

Agora, vamos ver como isso se traduz graficamente. Quando você tem o gráfico de uma função, a derivada em um ponto específico corresponde à inclinação da reta tangente à curva nesse ponto. A reta tangente é a linha que “toca” a curva exatamente em e segue a direção da curva naquele ponto.

Passo 4

Então, se você desenhar o gráfico de e, em seguida, desenhar a reta tangente no ponto , a inclinação dessa reta será igual a . Essa inclinação nos dá uma ideia de como a função está se comportando naquele ponto: se a inclinação é positiva, a função está subindo; se é negativa, está descendo; e se for zero, a função tem um ponto de máximo ou mínimo local naquele ponto.

Resposta

A derivada representa a inclinação da reta tangente ao gráfico de no ponto , ou seja, a taxa de variação da função naquele ponto.

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