Seja
uma função derivável, e
. Qual é a interpretação geométrica de
?
Passo 1
Ok, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
que é derivável em todo ponto real, e queremos saber o que representa geometricamente a derivada
em um ponto específico
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma derivada e como ela se relaciona com o gráfico da função.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma derivada. A derivada de uma função em um ponto,
, mede a taxa de variação da função naquele ponto. Basicamente, ela nos diz quão rápido a função está subindo ou descendo quando nos aproximamos de
.
Passo 3
Agora, vamos ver como isso se traduz graficamente. Quando você tem o gráfico de uma função, a derivada em um ponto específico
corresponde à inclinação da reta tangente à curva nesse ponto. A reta tangente é a linha que “toca” a curva exatamente em
e segue a direção da curva naquele ponto.
Passo 4
Então, se você desenhar o gráfico de
e, em seguida, desenhar a reta tangente no ponto
, a inclinação dessa reta será igual a
. Essa inclinação nos dá uma ideia de como a função está se comportando naquele ponto: se a inclinação é positiva, a função está subindo; se é negativa, está descendo; e se for zero, a função tem um ponto de máximo ou mínimo local naquele ponto.
Resposta
A derivada
representa a inclinação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
, ou seja, a taxa de variação da função naquele ponto.