Determine a equação da reta tangente ao gráfico de
em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto onde
. Isso envolve conceitos de derivadas, que fazem parte do cálculo diferencial. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada da função para achar a inclinação da reta tangente e usar a fórmula da reta na forma ponto-inclinação.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de
para saber o ponto exato onde a reta vai tangenciar o gráfico. Substituindo
na função:
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 3
Agora, precisamos achar a derivada de
, que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto
. A função é
. Vamos reescrever para facilitar a derivação:
Usamos a regra da cadeia para derivar:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada no ponto
para encontrar a inclinação da reta tangente:
Então, a inclinação
da reta tangente é
.
Passo 5
Com o ponto
e a inclinação
, podemos usar a fórmula da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos deixar a equação mais arrumada, isolando o
:
Resposta
A equação da reta tangente ao gráfico de
em
é: