Determine a equação da reta tangente ao gráfico de g(x) = raiz(5 x^4 + 4) em x = 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto onde . Isso envolve conceitos de derivadas, que fazem parte do cálculo diferencial. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada da função para achar a inclinação da reta tangente e usar a fórmula da reta na forma ponto-inclinação.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de para saber o ponto exato onde a reta vai tangenciar o gráfico. Substituindo na função:
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos achar a derivada de , que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto . A função é . Vamos reescrever para facilitar a derivação:
Usamos a regra da cadeia para derivar:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada no ponto para encontrar a inclinação da reta tangente:
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 5

Com o ponto e a inclinação , podemos usar a fórmula da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:

Passo 6

Vamos deixar a equação mais arrumada, isolando o :

Resposta

A equação da reta tangente ao gráfico de em é:

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