Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f, no ponto (a, f(a)) sabendo que:
f(x) = 1/raiz(x), (a, f(a)) = (1, 1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O objetivo aqui é encontrar a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação (ou seja, o coeficiente angular) da reta tangente em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada de . A derivada de uma função nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto . Vamos reescrever a função para facilitar a derivação:

Passo 3

Agora, aplicamos a regra do poder para derivar :
Isso nos dá a fórmula para a inclinação da reta tangente em qualquer ponto .

Passo 4

Em seguida, substituímos na derivada para encontrar a inclinação no ponto dado:
Então, a inclinação da reta tangente no ponto é .

Passo 5

Agora que temos a inclinação e um ponto pela qual a reta passa , podemos usar a forma ponto-inclinação da equação da reta:
Substituindo os valores:

Passo 6

Finalmente, vamos simplificar a equação para o formato :
Somando 1 em ambos os lados:

Resposta

A equação da reta tangente é .

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