Transforme as equações abaixo. As que estiverem no sistema retangular, transforme para polar e as que estiverem no sistema polar, transforme para retangular. sen^2(θ) - 4 r cos^3(θ) = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para transformar uma equação de um sistema de coordenadas para o outro. Especificamente, se a equação estiver no sistema polar, a gente transforma para o retangular, e vice-versa. A equação que temos é sen^2(θ) - 4 r cos^3(θ) = 0, que está no sistema polar. Então, nosso objetivo é converter isso para o sistema retangular.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como converter coordenadas polares para retangulares. As relações básicas são:
  • Além disso,
Essas fórmulas vão nos ajudar a substituir r e theta por x e y na equação.

Passo 3

Vamos começar substituindo e pelas suas equivalentes em retangular:
Agora, substituímos essas na equação original:

Passo 4

Vamos simplificar a equação:
Observe que r aparece nos denominadores e multiplicadores. Podemos simplificar cada termo:

Passo 5

Para facilitar, vamos multiplicar toda a equação por r^2 para eliminar os denominadores:

Resposta

A equação no sistema retangular é .

Exercícios relacionados

Transforme as equações abaixo. As que estiverem no sistema retangular, transforme para polar e as que estiverem no sistema polar, transforme para retangular. x y = 2.
Transforme as equações abaixo. As que estiverem no sistema retangular, transforme para polar e as que estiverem no sistema polar, transforme para retangular. 2 x^2 + 2 y^2 + 2 x - 6 y + 3 = 0.
Transforme as equações abaixo. As que estiverem no sistema retangular, transforme para polar e as que estiverem no sistema polar, transforme para retangular. 2x - y = 0.
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f, no ponto (a, f(a)) sabendo que:
f(x) = 1/raiz(x), (a, f(a)) = (1, 1)