Determine a equação da reta tangente e normal ao gráfico da função f(x) = arctan(x) no ponto de abscissa 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações da reta tangente e da reta normal ao gráfico da função no ponto onde .
Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação das retas que tangenciam a curva naquele ponto específico. Também vamos precisar saber o valor da função no ponto para montar as equações das retas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor da função no ponto :
Sabemos que , porque a tangente de é 1.
Então,

Passo 3

Agora, precisamos achar a derivada da função para descobrir a inclinação da reta tangente. A derivada de é:
Vamos avaliar a derivada em :
Isso significa que a inclinação da reta tangente nesse ponto é .

Passo 4

Com a inclinação da reta tangente e o ponto pelo qual ela passa, podemos montar a equação da reta tangente usando a fórmula da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando, a equação da reta tangente fica:

Passo 5

Agora vamos encontrar a reta normal. A reta normal é perpendicular à reta tangente, o que significa que a sua inclinação é o negativo do inverso da inclinação da tangente.
Então, se a inclinação da tangente é , a inclinação da normal será:

Passo 6

Com a inclinação da reta normal e o mesmo ponto pelo qual ela passa, usamos novamente a fórmula da reta ponto-inclinação:
Substituindo os valores:
Simplificando, a equação da reta normal fica:

Resposta

As equações das retas são:
  • Reta Tangente:
  • Reta Normal:

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