Determine a equação da reta tangente e normal ao gráfico da função
no ponto de abscissa 1.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações da reta tangente e da reta normal ao gráfico da função
no ponto onde
.
Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação das retas que tangenciam a curva naquele ponto específico. Também vamos precisar saber o valor da função no ponto
para montar as equações das retas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor da função no ponto
:
Sabemos que
, porque a tangente de
é 1.
Então,
Passo 3
Agora, precisamos achar a derivada da função
para descobrir a inclinação da reta tangente. A derivada de
é:
Vamos avaliar a derivada em
:
Isso significa que a inclinação da reta tangente nesse ponto é
.
Passo 4
Com a inclinação da reta tangente e o ponto pelo qual ela passa, podemos montar a equação da reta tangente usando a fórmula da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando, a equação da reta tangente fica:
Passo 5
Agora vamos encontrar a reta normal. A reta normal é perpendicular à reta tangente, o que significa que a sua inclinação é o negativo do inverso da inclinação da tangente.
Então, se a inclinação da tangente é
, a inclinação da normal será:
Passo 6
Com a inclinação da reta normal e o mesmo ponto pelo qual ela passa, usamos novamente a fórmula da reta ponto-inclinação:
Substituindo os valores:
Simplificando, a equação da reta normal fica:
Resposta
As equações das retas são:
-
Reta Tangente:
-
Reta Normal: