Expresse y' em termos de x e y, onde y = f(x) é uma função diferenciável dada implicitamente pela equação 5y + cos(y) = xy

Passo 1

Estamos lidando com um problema de diferenciação implícita. Queremos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, , a partir da equação . Para resolver isso, vamos precisar aplicar regras de diferenciação, incluindo a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a :

Passo 3

Agora, vamos diferenciar termo a termo:
  1. Diferenciando :
    Como é uma constante e é uma função de , temos:
  2. Diferenciando :
    Aqui usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é:
  3. Diferenciando :
    Aplicamos a regra do produto. A derivada de é:

Passo 4

Substituindo as derivadas na equação original, temos:

Passo 5

Vamos reunir todos os termos que contêm do lado esquerdo da equação:

Passo 6

Fatorando dos termos à esquerda:

Passo 7

Finalmente, isolamos dividindo ambos os lados por :

Resposta

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