Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função g(x) = arctan(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir onde a função está crescendo ou decrescendo. Isso envolve o estudo de derivadas, que é uma parte da matemática chamada Cálculo. Para isso, vamos calcular a derivada da função e analisar onde ela é positiva (crescendo) ou negativa (decrescendo).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada. A derivada de uma função nos diz a taxa de variação dela, ou seja, se está subindo ou descendo naquele ponto. Então, vamos encontrar a derivada de .
A derivada de é:

Passo 3

Agora que temos a derivada , vamos analisar o sinal dela. Como o denominador é sempre positivo (porque qualquer número ao quadrado é positivo e somando 1 continua positivo), a derivada também é sempre positiva.

Passo 4

Como a derivada é sempre positiva para qualquer valor de , isso significa que a função está sempre crescendo em todo o seu domínio.

Resposta

A função é crescente em todo o seu domínio, ou seja, para todo .

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