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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a segunda derivada de
. Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especificamente a aplicação das regras de derivação do produto e da cadeia.
Passo 2
Vamos começar encontrando a primeira derivada
. A função
é um produto de duas funções:
e
. Para derivar um produto, usamos a Regra do Produto, que diz:
Então, precisamos calcular
e
.
Passo 3
Primeiro, vamos derivar
. Podemos reescrever
como
e usar a Regra da Cadeia para derivar:
Passo 4
Agora, vamos derivar
. A derivada de
é bem conhecida:
Passo 5
Aplicando a Regra do Produto, temos:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a segunda derivada
. Diferenciamos
:
Para derivar
, usamos novamente a Regra do Produto e da Cadeia.
Passo 7
Vamos considerar
como
. Aplicando a Regra do Produto:
Passo 8
Primeiro, derivamos
:
E já sabemos que:
Passo 9
Substituindo de volta:
Passo 10
Portanto, a segunda derivada é:
Resposta
A segunda derivada de
é: