Encontre f''(x) onde f(x) = raiz(1 - x^2) * arccos(x)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a segunda derivada de . Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especificamente a aplicação das regras de derivação do produto e da cadeia.

Passo 2

Vamos começar encontrando a primeira derivada . A função é um produto de duas funções: e . Para derivar um produto, usamos a Regra do Produto, que diz:
Então, precisamos calcular e .

Passo 3

Primeiro, vamos derivar . Podemos reescrever como e usar a Regra da Cadeia para derivar:

Passo 4

Agora, vamos derivar . A derivada de é bem conhecida:

Passo 5

Aplicando a Regra do Produto, temos:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos encontrar a segunda derivada . Diferenciamos :
Para derivar , usamos novamente a Regra do Produto e da Cadeia.

Passo 7

Vamos considerar como . Aplicando a Regra do Produto:

Passo 8

Primeiro, derivamos :
E já sabemos que:

Passo 9

Substituindo de volta:

Passo 10

Portanto, a segunda derivada é:

Resposta

A segunda derivada de é:

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