Determine a equação da reta tangente em sendo dados. e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação da reta tangente à função no ponto . Isso envolve um pouco de cálculo, especificamente derivadas, pra gente descobrir a inclinação da reta no ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de , ou seja, . Isso vai nos dar a coordenada do ponto onde a reta vai tangenciar a função.

Passo 3

Calculando :
Sabemos que e , então:
Então, o ponto de tangência é .

Passo 4

Agora, precisamos achar a derivada de , que nos dá a inclinação da reta tangente no ponto . A derivada de exige o uso da regra do produto, porque é o produto de duas funções: e .

Passo 5

Aplicando a regra do produto:
Calculando as derivadas:
Então:
Lembrando que , podemos simplificar:

Passo 6

Agora, vamos calcular :
Como e :
Então, a inclinação da reta tangente é 2.

Passo 7

Com a inclinação e o ponto , usamos a fórmula da reta:
Substituindo:

Resposta

A equação da reta tangente à função no ponto é:

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