Encontre a derivada das funções abaixo usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a derivada da função
usando a definição de derivada. Estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com a definição de derivada. Para resolver isso, vamos precisar aplicar o limite da diferença quociente e simplificar a expressão passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar o trabalho. Sabemos que
, então:
Passo 3
Agora, vamos usar a definição de derivada:
Substituindo
:
Passo 4
Para simplificar a expressão, vamos expandir
usando a fórmula do binômio de Newton para potências fracionárias, mas aqui vamos fazer uma simplificação direta. Sabemos que:
Mas para facilitar, vamos considerar apenas a diferença direta:
Essa diferença pode ser complicada de simplificar diretamente, então, para facilitar, podemos usar a definição de derivada para funções de potência.
Passo 5
Sabemos que para
, a derivada é
. No nosso caso,
, então:
Resposta
A derivada da função
é:
O domínio da função
é
(já que a raiz quadrada de
só é definida para valores não negativos). O domínio da derivada
é
, pois a raiz quadrada está definida para
positivos.
Exercícios relacionados
Com estas informações determine a equação da reta normal à curva dada.
no ponto
;
Determine a equação da reta tangente em
sendo dados.
e
Ache
para as funções abaixo.
Derive utilizando as regras de derivação para derivar as funções abaixo…