Encontre a derivada das funções abaixo usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a derivada da função usando a definição de derivada. Estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com a definição de derivada. Para resolver isso, vamos precisar aplicar o limite da diferença quociente e simplificar a expressão passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar o trabalho. Sabemos que , então:

Passo 3

Agora, vamos usar a definição de derivada:
Substituindo :

Passo 4

Para simplificar a expressão, vamos expandir usando a fórmula do binômio de Newton para potências fracionárias, mas aqui vamos fazer uma simplificação direta. Sabemos que:
Mas para facilitar, vamos considerar apenas a diferença direta:
Essa diferença pode ser complicada de simplificar diretamente, então, para facilitar, podemos usar a definição de derivada para funções de potência.

Passo 5

Sabemos que para , a derivada é . No nosso caso, , então:

Resposta

A derivada da função é:
O domínio da função é (já que a raiz quadrada de só é definida para valores não negativos). O domínio da derivada é , pois a raiz quadrada está definida para positivos.

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