Determine a equação da reta tangente em (a, f(a)) sendo dados
(d) f(x) = x / (x^2 + 1) e a = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação da reta tangente no ponto (a, f(a)) onde a função é e a = 1. Aqui, estamos lidando com cálculo, especificamente com derivadas para encontrar a inclinação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a coordenada do ponto onde a reta tangente vai tocar a curva. Isso significa calcular f(a) quando .
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto. Para isso, precisamos calcular a derivada de f(x), que nos dá a taxa de variação da função em qualquer ponto x.
A função é:

Passo 4

Para derivar f(x), vamos usar a regra do quociente, que é usada quando temos uma divisão entre duas funções. A regra diz que:
Onde e .

Passo 5

Calculando as derivadas de u e v:

Passo 6

Aplicando a regra do quociente:

Passo 7

Agora, vamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto x = 1 substituindo x por 1 na derivada:
Então, a inclinação m da reta tangente é 0.

Passo 8

Com a inclinação e o ponto , podemos usar a fórmula da reta tangente:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Resposta

A equação da reta tangente é .

Exercícios relacionados