Resolver o seguinte problema de valor inicial (PVI) usando a transformada de Laplace:
y'' + 4y = u(pi t) - u(3pi t), y(0) = 0, y'(0) = 0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais:
y'' + 4y = u(pi t) - u(3pi t), y(0) = 0, y'(0) = 0
Aqui, representa a função degrau unitário que “liga” em . Nosso objetivo é resolver essa equação usando a transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais, especialmente quando há condições iniciais envolvidas.

Passo 2

Vamos aplicar a transformada de Laplace em todos os termos da equação. Lembre-se que a transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
Onde é a transformada de Laplace de y(t). Como as condições iniciais são e , isso simplifica a expressão para:

Passo 3

Agora, aplicamos a transformada de Laplace a toda a equação:
Sabemos que a transformada de Laplace da função degrau unitário é:
Portanto, substituindo na equação:

Passo 4

Para encontrar , isolamos ele na equação:
Agora, precisamos simplificar essa expressão para facilitar a aplicação da transformada inversa de Laplace.

Passo 5

Vamos fazer uma decomposição fracionária da fração:
Isso nos permite reescrever como:

Passo 6

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace. Sabemos que:
e
Além disso, a presença dos termos e indica um deslocamento no tempo, o que corresponde ao uso da propriedade da transformação de Laplace para funções retardadas.

Passo 7

Aplicando a transformada inversa de Laplace, obtemos:

Resposta

A solução do problema é:

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