Resolver o seguinte problema de valor inicial (PVI) usando a transformada de Laplace:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais:
Aqui,
representa a função degrau unitário que “liga” em
. Nosso objetivo é resolver essa equação usando a transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais, especialmente quando há condições iniciais envolvidas.
Passo 2
Vamos aplicar a transformada de Laplace em todos os termos da equação. Lembre-se que a transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
Onde
é a transformada de Laplace de
. Como as condições iniciais são
e
, isso simplifica a expressão para:
Passo 3
Agora, aplicamos a transformada de Laplace a toda a equação:
Sabemos que a transformada de Laplace da função degrau unitário
é:
Portanto, substituindo na equação:
Passo 4
Para encontrar
, isolamos ele na equação:
Agora, precisamos simplificar essa expressão para facilitar a aplicação da transformada inversa de Laplace.
Passo 5
Vamos fazer uma decomposição fracionária da fração:
Isso nos permite reescrever
como:
Passo 6
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace. Sabemos que:
e
Além disso, a presença dos termos
e
indica um deslocamento no tempo, o que corresponde ao uso da propriedade da transformação de Laplace para funções retardadas.
Passo 7
Aplicando a transformada inversa de Laplace, obtemos:
Resposta
A solução do problema é:
Exercícios relacionados
Determine a equação da reta tangente em
sendo dados
(d) e
(d)
Se um objeto de massa
tem velocidade
, então sua energia cinética
é dada por
. Se
é função do tempo
, use a regra da cadeia para estabelecer uma fórmula para
.
Seja a matriz
e considere o sistema
. Escolher um
no intervalo
, encontre a solução geral
e calcule o limite quando
. Dica: encontrar os autovalores em função de
.