Determine a equação da reta tangente em
sendo dados.
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva definida por
no ponto onde
. Esse tipo de problema está na matéria de Cálculo Diferencial, especificamente envolvendo derivadas para determinar a inclinação da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o ponto na curva onde
. Isso significa calcular
.
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto. Para isso, vamos calcular a derivada de
, que nos dá a inclinação da reta em qualquer ponto
.
A função é:
Podemos reescrever isso como:
Vamos derivar em relação a
:
Passo 4
Com a derivada, podemos encontrar a inclinação da reta tangente em
:
Então, a inclinação
da reta tangente é
.
Passo 5
Agora que temos o ponto
e a inclinação
, vamos usar a fórmula da reta na forma ponto-inclinação para encontrar a equação da reta tangente.
A fórmula é:
Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos simplificar essa equação para a forma padrão
:
Distribuindo o
:
Agora, adicionamos 2 em ambos os lados para isolar
:
Resposta
A equação da reta tangente é:
Exercícios relacionados
Encontre a equação da reta tangente a curva
, no ponto
.
Encontre
.
Encontre a derivada das funções abaixo usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.
Ache
para as funções abaixo.