Determine a equação da reta tangente em sendo dados. e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva definida por no ponto onde . Esse tipo de problema está na matéria de Cálculo Diferencial, especificamente envolvendo derivadas para determinar a inclinação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto na curva onde . Isso significa calcular .
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto. Para isso, vamos calcular a derivada de , que nos dá a inclinação da reta em qualquer ponto .
A função é:
Podemos reescrever isso como:
Vamos derivar em relação a :

Passo 4

Com a derivada, podemos encontrar a inclinação da reta tangente em :
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 5

Agora que temos o ponto e a inclinação , vamos usar a fórmula da reta na forma ponto-inclinação para encontrar a equação da reta tangente.
A fórmula é:
Substituindo os valores:

Passo 6

Vamos simplificar essa equação para a forma padrão :
Distribuindo o :
Agora, adicionamos 2 em ambos os lados para isolar :

Resposta

A equação da reta tangente é:

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Encontre a equação da reta tangente a curva , no ponto .
Encontre .
Encontre a derivada das funções abaixo usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.
Ache para as funções abaixo.