Encontre a derivada das funções abaixo usando a definição. Diga quais são os domínios da função e da derivada.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada da função usando a definição de derivada. A matéria que vamos usar aqui é o cálculo diferencial, especificamente a definição de derivada. Para isso, vamos precisar aplicar o limite que define a derivada.

Passo 2

Primeiro, lembremos qual é a definição de derivada. A derivada de uma função em um ponto é dada por:
Esse limite nos dá a taxa de variação da função naquele ponto.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função . Primeiro, calculamos :

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar a diferença :
Simplificando:

Passo 5

Agora, substituímos essa diferença na definição da derivada:
Simplificando a fração:

Resposta

A derivada da função é .
Domínio da função : Como a função é uma função polinomial de primeiro grau, seu domínio é todos os números reais, ou seja, .
Domínio da derivada : A derivada também está definida para todos os números reais, então o domínio da derivada é .

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