Determine a equação da reta tangente à trajetória da função dada, no ponto dado:
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à trajetória da função vetorial dada no ponto específico
. Esse tipo de problema está na área de Cálculo, mais especificamente em Cálculo Vetorial. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada da função vetorial para achar a direção da tangente e depois usar isso para construir a equação da reta.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função vetorial:
E o ponto em que queremos encontrar a reta tangente é quando
, ou seja,
.
Passo 3
Vamos calcular
substituindo
na função:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a derivada da função vetorial
, que nos dará o vetor velocidade, ou seja, a direção da tangente.
Vamos derivar cada componente de
em relação a
:
Passo 5
Calculando as derivadas:
Para a primeira componente:
Para a segunda componente:
Então, temos:
Passo 6
Agora, avaliamos a derivada em
para encontrar o vetor tangente no ponto
:
Passo 7
Com o ponto
e o vetor tangente
, podemos escrever a equação da reta tangente usando a forma paramétrica:
Onde
Então:
Resposta
A equação da reta tangente é dada por:
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, e da constante gravitacional,
.
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.
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.