Determine a equação da reta tangente à trajetória da função dada, no ponto dado: r(t) = (1 + 2 ln(1 + t), 1 + (1 + t)²) e r(0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à trajetória da função vetorial dada no ponto específico r(0). Esse tipo de problema está na área de Cálculo, mais especificamente em Cálculo Vetorial. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada da função vetorial para achar a direção da tangente e depois usar isso para construir a equação da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função vetorial:
E o ponto em que queremos encontrar a reta tangente é quando , ou seja, r(0).

Passo 3

Vamos calcular r(0) substituindo na função:
Sabemos que , então:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a derivada da função vetorial r(t), que nos dará o vetor velocidade, ou seja, a direção da tangente.
Vamos derivar cada componente de r(t) em relação a t:

Passo 5

Calculando as derivadas:
Para a primeira componente:
Para a segunda componente:
Então, temos:

Passo 6

Agora, avaliamos a derivada em para encontrar o vetor tangente no ponto r(0):

Passo 7

Com o ponto e o vetor tangente , podemos escrever a equação da reta tangente usando a forma paramétrica:

Onde s é um parâmetro.
Então:

Resposta

A equação da reta tangente é dada por:

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