Determine a equação da reta tangente à trajetória da função dada, no ponto dado:
e
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar a equação da reta tangente à trajetória da função dada, no ponto específico
. Aqui, a função é
, que descreve a trajetória de um ponto no plano conforme o parâmetro
varia. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto dado.
Passo 2
Vamos calcular a derivada da função
. A derivada nos dá a taxa de variação da posição em relação ao parâmetro
, ou seja, a velocidade.
No ponto
, a derivada é:
Isso significa que a direção da reta tangente no ponto
é dada pelo vetor
.
Passo 3
Para encontrar a equação da reta tangente, precisamos da inclinação
da reta e de um ponto por onde ela passa. Já temos o ponto
e o vetor direção
.
A inclinação
da reta é calculada como a razão entre as componentes do vetor direção:
Passo 4
Usando a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Onde
e
, temos:
Resposta
A equação da reta tangente à trajetória da função
no ponto
é: