Determine a equação da reta tangente à trajetória da função dada, no ponto dado:
e
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar a equação da reta tangente à trajetória da função dada, no ponto específico
. Aqui, a função é
, que descreve a trajetória de um ponto no plano conforme o parâmetro
varia. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto dado.
Passo 2
Vamos calcular a derivada da função
. A derivada nos dá a taxa de variação da posição em relação ao parâmetro
, ou seja, a velocidade.
No ponto
, a derivada é:
Isso significa que a direção da reta tangente no ponto
é dada pelo vetor
.
Passo 3
Para encontrar a equação da reta tangente, precisamos da inclinação
da reta e de um ponto por onde ela passa. Já temos o ponto
e o vetor direção
.
A inclinação
da reta é calculada como a razão entre as componentes do vetor direção:
Passo 4
Usando a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Onde
e
, temos:
Resposta
A equação da reta tangente à trajetória da função
no ponto
é:
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O período da Terra girando em torno do Sol é de aproximadamente 365,25 dias. Utilize esse fato e a Terceira Lei de Kepler para determinar o eixo maior da órbita terrestre. Você precisará do valor da massa do Sol,
, e da constante gravitacional,
.
Seja
o período de um planeta em torno do Sol; ou seja,
é o tempo necessário para o planeta dar uma volta completa em torno do Sol, em sua órbita elíptica. Suponha que os comprimentos dos eixos maior e menor da elipse sejam
e
. Mostre que
.
Determine a equação da reta tangente à trajetória da função dada, no ponto dado:
e
Determine uma reparametrização da ciclóide
pelo comprimento de arco, em que
.