Determine a equação da reta tangente à trajetória da função dada, no ponto dado: r(t) = (t^2, t) e r(1)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar a equação da reta tangente à trajetória da função dada, no ponto específico r(1). Aqui, a função é , que descreve a trajetória de um ponto no plano conforme o parâmetro t varia. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto dado.

Passo 2

Vamos calcular a derivada da função r(t). A derivada nos dá a taxa de variação da posição em relação ao parâmetro t, ou seja, a velocidade.
No ponto , a derivada é:
Isso significa que a direção da reta tangente no ponto (1, 1) é dada pelo vetor .

Passo 3

Para encontrar a equação da reta tangente, precisamos da inclinação m da reta e de um ponto por onde ela passa. Já temos o ponto (1, 1) e o vetor direção .
A inclinação m da reta é calculada como a razão entre as componentes do vetor direção:

Passo 4

Usando a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Onde e , temos:

Resposta

A equação da reta tangente à trajetória da função no ponto r(1) é:

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