Determine a equação da reta tangente à trajetória da função dada, no ponto dado: e

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar a equação da reta tangente à trajetória da função dada, no ponto específico . Aqui, a função é , que descreve a trajetória de um ponto no plano conforme o parâmetro varia. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto dado.

Passo 2

Vamos calcular a derivada da função . A derivada nos dá a taxa de variação da posição em relação ao parâmetro , ou seja, a velocidade.
No ponto , a derivada é:
Isso significa que a direção da reta tangente no ponto é dada pelo vetor .

Passo 3

Para encontrar a equação da reta tangente, precisamos da inclinação da reta e de um ponto por onde ela passa. Já temos o ponto e o vetor direção .
A inclinação da reta é calculada como a razão entre as componentes do vetor direção:

Passo 4

Usando a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Onde e , temos:

Resposta

A equação da reta tangente à trajetória da função no ponto é:

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