Seja o período de um planeta em torno do Sol; ou seja, é o tempo necessário para o planeta dar uma volta completa em torno do Sol, em sua órbita elíptica. Suponha que os comprimentos dos eixos maior e menor da elipse sejam e . Mostre que .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Temos um planeta que está girando ao redor do Sol em uma órbita elíptica. O período dessa órbita é , que é o tempo que o planeta leva para completar uma volta inteira. Os comprimentos dos eixos maior e menor da elipse são e respectivamente. O objetivo é mostrar que:
Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de mecânica celeste, especificamente sobre órbitas elípticas e elementos como momento angular e excentricidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada termo significa. é o momento angular específico do planeta, é a constante gravitacional, é a massa do Sol, é a excentricidade da órbita e é a distância relacionada à órbita.

Passo 3

Sabemos que para uma órbita elíptica, a semi-major axis é e a semi-minor axis é . A relação entre e numa elipse é dada por:
Isso nos ajuda a relacionar a excentricidade com os eixos da elipse.

Passo 4

O momento angular específico pode ser expresso em termos de e . Sabemos que:
Substituindo a relação de que encontramos no Passo 3:

Passo 5

Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Simplificando:

Passo 6

Observando que , podemos reescrever:

Passo 7

Agora, vamos relacionar isso com :
Comparando com o que encontramos anteriormente:
Portanto:

Resposta

Mostramos que .

Exercícios relacionados

Encontre a Transformada de Laplace de cada uma das funções a seguir:
Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
O período da Terra girando em torno do Sol é de aproximadamente 365,25 dias. Utilize esse fato e a Terceira Lei de Kepler para determinar o eixo maior da órbita terrestre. Você precisará do valor da massa do Sol, , e da constante gravitacional, .
Determine a equação da reta tangente à trajetória da função dada, no ponto dado: e