Seja
o período de um planeta em torno do Sol; ou seja,
é o tempo necessário para o planeta dar uma volta completa em torno do Sol, em sua órbita elíptica. Suponha que os comprimentos dos eixos maior e menor da elipse sejam
e
. Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Temos um planeta que está girando ao redor do Sol em uma órbita elíptica. O período dessa órbita é
, que é o tempo que o planeta leva para completar uma volta inteira. Os comprimentos dos eixos maior e menor da elipse são
e
respectivamente. O objetivo é mostrar que:
Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de mecânica celeste, especificamente sobre órbitas elípticas e elementos como momento angular e excentricidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada termo significa.
é o momento angular específico do planeta,
é a constante gravitacional,
é a massa do Sol,
é a excentricidade da órbita e
é a distância relacionada à órbita.
Passo 3
Sabemos que para uma órbita elíptica, a semi-major axis é
e a semi-minor axis é
. A relação entre
e
numa elipse é dada por:
Isso nos ajuda a relacionar a excentricidade
com os eixos da elipse.
Passo 4
O momento angular específico
pode ser expresso em termos de
e
. Sabemos que:
Substituindo a relação de
que encontramos no Passo 3:
Passo 5
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Simplificando:
Passo 6
Observando que
, podemos reescrever:
Passo 7
Agora, vamos relacionar isso com
:
Comparando com o que encontramos anteriormente:
Portanto:
Resposta
Mostramos que
.
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, e da constante gravitacional,
.
Determine a equação da reta tangente à trajetória da função dada, no ponto dado:
e