Determine a equação da reta tangente à trajetória da função dada, no ponto dado:
e
;
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função vetorial que descreve uma trajetória no espaço:
. A pergunta quer que a gente encontre a equação da reta tangente a essa trajetória no ponto onde
. Para resolver isso, precisamos descobrir o ponto na trajetória correspondente a
e o vetor velocidade (ou derivada) nesse ponto, que nos dará a direção da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o ponto na trajetória quando
. Substituímos
na função
:
Sabemos que
e
. Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular o vetor velocidade, que é a derivada da função posição
em relação a
. A derivada nos dá a direção da reta tangente.
Passo 4
Substituímos
na derivada para encontrar o vetor velocidade nesse ponto específico:
Passo 5
Com o ponto na trajetória e o vetor direção da reta tangente em mãos, podemos montar a equação da reta tangente. A equação paramétrica da reta tangente é dada por:
Substituindo os valores encontrados:
Podemos também expressar isso compondo as coordenadas separadamente:
Resposta
A equação da reta tangente à trajetória no ponto dado é: