Determine a equação da reta tangente à trajetória da função dada, no ponto dado: r(t) = (cos(t), sen(t), t) e r(pi/3);

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função vetorial que descreve uma trajetória no espaço: . A pergunta quer que a gente encontre a equação da reta tangente a essa trajetória no ponto onde . Para resolver isso, precisamos descobrir o ponto na trajetória correspondente a e o vetor velocidade (ou derivada) nesse ponto, que nos dará a direção da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o ponto na trajetória quando . Substituímos t na função r(t):
Sabemos que e . Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular o vetor velocidade, que é a derivada da função posição r(t) em relação a t. A derivada nos dá a direção da reta tangente.

Passo 4

Substituímos na derivada para encontrar o vetor velocidade nesse ponto específico:

Passo 5

Com o ponto na trajetória e o vetor direção da reta tangente em mãos, podemos montar a equação da reta tangente. A equação paramétrica da reta tangente é dada por:
Substituindo os valores encontrados:
Podemos também expressar isso compondo as coordenadas separadamente:

Resposta

A equação da reta tangente à trajetória no ponto dado é:

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