Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada e indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce: s(t) = (t, cos(2t), sen(2t))

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente esboçar o gráfico da curva dada pela equação vetorial s(t) = (t, cos(2t), sen(2t)) e indicar com setas a direção em que o parâmetro t está aumentando. Isso envolve conhecimentos de geometria analítica e funções paramétricas. Vamos precisar entender como cada componente da função vetorial contribui para formar a curva no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação vetorial dada: . Isso significa que a posição da curva em cada instante t é determinada por três coordenadas:
Cada uma dessas funções representa como a curva se movimenta ao longo dos eixos x, y e z conforme t varia.

Passo 3

Observando as componentes e , percebemos que elas descrevem uma circunferência no plano . A frequência dessas funções trigonométricas é dobrada devido ao fator , o que significa que o movimento circular acontece duas vezes mais rápido conforme t aumenta.

Passo 4

Agora, olhando para a componente , vemos que ela aumenta linearmente com t. Isso indica que, à medida que a curva gira no plano , ela também se desloca constantemente ao longo do eixo x. Juntando isso, a curva formada é uma hélice que avança no eixo x enquanto gira no plano .

Passo 5

Para indicar a direção em que t cresce, colocamos setas na hélice apontando na direção positiva do eixo x. Isso mostra que conforme t aumenta, a curva se move para frente no espaço, seguindo a trajetória da hélice.

Resposta

A curva descrita pela equação vetorial s(t) = (t, cos(2t), sen(2t)) é uma hélice que avança ao longo do eixo x enquanto gira no plano . No esboço, a hélice será representada como uma espiral que se eleva no eixo x, com setas indicando a direção de crescimento de t na direção positiva do eixo x.

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