Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada e indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente esboçar o gráfico da curva dada pela equação vetorial
e indicar com setas a direção em que o parâmetro
está aumentando. Isso envolve conhecimentos de geometria analítica e funções paramétricas. Vamos precisar entender como cada componente da função vetorial contribui para formar a curva no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação vetorial dada:
. Isso significa que a posição da curva em cada instante
é determinada por três coordenadas:
Cada uma dessas funções representa como a curva se movimenta ao longo dos eixos
,
e
conforme
varia.
Passo 3
Observando as componentes
e
, percebemos que elas descrevem uma circunferência no plano
. A frequência dessas funções trigonométricas é dobrada devido ao fator
, o que significa que o movimento circular acontece duas vezes mais rápido conforme
aumenta.
Passo 4
Agora, olhando para a componente
, vemos que ela aumenta linearmente com
. Isso indica que, à medida que a curva gira no plano
, ela também se desloca constantemente ao longo do eixo
. Juntando isso, a curva formada é uma hélice que avança no eixo
enquanto gira no plano
.
Passo 5
Para indicar a direção em que
cresce, colocamos setas na hélice apontando na direção positiva do eixo
. Isso mostra que conforme
aumenta, a curva se move para frente no espaço, seguindo a trajetória da hélice.
Resposta
A curva descrita pela equação vetorial
é uma hélice que avança ao longo do eixo
enquanto gira no plano
. No esboço, a hélice será representada como uma espiral que se eleva no eixo
, com setas indicando a direção de crescimento de
na direção positiva do eixo
.