Encontrar a equação geral, vetorial e paramétrica do plano nos seguintes casos: contem os pontos e
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente encontrar três formas diferentes da equação do plano que passa pelos pontos , e . Vamos precisar usar vetores, produto vetorial e as formulas das equações de um plano.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação geral do plano. Para isso, precisamos de um vetor normal ao plano. Vamos criar dois vetores que estão no plano usando os pontos dados:
Vetor
Vetor
Agora, calculamos o produto vetorial desses dois vetores para encontrar o vetor normal :
Resolvendo o determinante:
Podemos simplificar multiplicando todos os componentes por 4 para facilitar:
Agora, usando a equação geral do plano:
Onde são os componentes do vetor normal. Substituindo:
Para encontrar D, substituímos um dos pontos no plano, vamos usar o ponto :
Então, a equação geral do plano é:
Passo 3
Agora, vamos para a equação vetorial. A ideia aqui é expressar qualquer ponto r no plano como uma combinação linear de vetores que estão no plano. Usando o ponto A e os vetores e , temos:
Onde s e t são parâmetros reais. Substituindo os valores:
Passo 4
Por fim, vamos obter a equação paramétrica do plano. Para isso, separamos as componentes da equação vetorial: