Encontrar a equação geral, vetorial e paramétrica do plano pi nos seguintes casos: pi contem os pontos A=(1/2, 0, 0), B=(0, 1/2, 0) e C = (0, -1/2, 1/2)

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente encontrar três formas diferentes da equação do plano pi que passa pelos pontos , e . Vamos precisar usar vetores, produto vetorial e as formulas das equações de um plano.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação geral do plano. Para isso, precisamos de um vetor normal ao plano. Vamos criar dois vetores que estão no plano usando os pontos dados:
  • Vetor
  • Vetor
Agora, calculamos o produto vetorial desses dois vetores para encontrar o vetor normal n:
Resolvendo o determinante:
Podemos simplificar multiplicando todos os componentes por 4 para facilitar:
Agora, usando a equação geral do plano:
Onde são os componentes do vetor normal. Substituindo:
Para encontrar D, substituímos um dos pontos no plano, vamos usar o ponto :
Então, a equação geral do plano é:

Passo 3

Agora, vamos para a equação vetorial. A ideia aqui é expressar qualquer ponto r no plano como uma combinação linear de vetores que estão no plano. Usando o ponto A e os vetores e , temos:
Onde s e t são parâmetros reais. Substituindo os valores:

Passo 4

Por fim, vamos obter a equação paramétrica do plano. Para isso, separamos as componentes da equação vetorial:
Podemos simplificar:

Resposta

As equações do plano pi são:
  • Equação Geral:
  • Equação Vetorial:
  • Equação Paramétrica:

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