Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada e indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce: r(t) = (cos^2(t), sen^2(t))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar o gráfico da curva definida pela equação vetorial e indicar com setas a direção em que o parâmetro t está aumentando. Para resolver isso, vamos trabalhar com equações paramétricas e entender como essas funções trigonométricas nos ajudam a traçar a curva no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a equação vetorial dada. Ela nos diz que, para cada valor de t, temos um ponto no plano com coordenadas . Nosso objetivo é relacionar x e y para eliminar o parâmetro t e obter a equação cartesiana da curva.

Passo 3

Sabemos que , uma identidade trigonométrica básica. Vamos usar essa relação para eliminar t da equação.

Passo 4

Vamos chamar e . Então, somando as duas equações:
Isso nos dá a equação cartesiana da curva: .

Passo 5

Agora que temos a equação , sabemos que ela representa uma reta no plano cartesiano. Vamos esboçar essa reta. Ela passa pelos pontos e .

Passo 6

Para indicar a direção em que o parâmetro t cresce, precisamos analisar como x e y variam conforme t aumenta. Vamos observar alguns valores de t:
  • Para :
    Ponto:
  • Para :
    Ponto:
  • Para :
    Retorna a
Isso mostra que enquanto t aumenta de 0 a pi / 2, o ponto se move de para . De pi / 2 a pi, retorna para . Portanto, a direção do crescimento de t vai de para e de volta.

Resposta

A curva é uma reta definida por , que passa pelos pontos e . No esboço, as setas indicam que, conforme t aumenta, o ponto se move de para e retorna, formando um intervalo de movimento entre esses dois pontos.

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