Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada e indique com setas a direção na qual o parâmetro cresce:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar o gráfico da curva definida pela equação vetorial
e indicar com setas a direção em que o parâmetro
está aumentando. Para resolver isso, vamos trabalhar com equações paramétricas e entender como essas funções trigonométricas nos ajudam a traçar a curva no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a equação vetorial dada. Ela nos diz que, para cada valor de
, temos um ponto no plano com coordenadas
. Nosso objetivo é relacionar
e
para eliminar o parâmetro
e obter a equação cartesiana da curva.
Passo 3
Sabemos que
, uma identidade trigonométrica básica. Vamos usar essa relação para eliminar
da equação.
Passo 4
Vamos chamar
e
. Então, somando as duas equações:
Isso nos dá a equação cartesiana da curva:
.
Passo 5
Agora que temos a equação
, sabemos que ela representa uma reta no plano cartesiano. Vamos esboçar essa reta. Ela passa pelos pontos
e
.
Passo 6
Para indicar a direção em que o parâmetro
cresce, precisamos analisar como
e
variam conforme
aumenta. Vamos observar alguns valores de
:
-
Para
: Ponto: -
Para
: Ponto: -
Para
: Retorna a
Isso mostra que enquanto
aumenta de
a
, o ponto se move de
para
. De
a
, retorna para
. Portanto, a direção do crescimento de
vai de
para
e de volta.
Resposta
A curva é uma reta definida por
, que passa pelos pontos
e
. No esboço, as setas indicam que, conforme
aumenta, o ponto se move de
para
e retorna, formando um intervalo de movimento entre esses dois pontos.