Determine a equação da superfície definida pelo conjunto dos pontos
tais que a distância de
ao eixo dos
é
da distância de
ao plano
. Identifique a superfície.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a equação de uma superfície formada pelos pontos
que satisfazem uma condição específica de distância. Vamos precisar entender como calcular a distância de um ponto ao eixo
e ao plano
. Isso envolve geometria espacial e algumas fórmulas de distância.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a distância de um ponto
ao eixo
. O eixo
é onde
e
. A distância de
ao eixo
é basicamente a distância do ponto
ao ponto
no plano
. Usamos a fórmula da distância euclidiana:
Passo 3
Agora, vamos calcular a distância de
ao plano
. O plano
é onde
. A distância de
a esse plano é simplesmente o valor absoluto da coordenada
:
Passo 4
Segundo o enunciado, a distância de
ao eixo
é
da distância de
ao plano
. Vamos traduzir isso para uma equação:
Passo 5
Para simplificar, vamos eliminar a raiz quadrada e o valor absoluto elevando ambos os lados ao quadrado:
Passo 6
Multiplicando todos os termos por 16 para eliminar a fração, ficamos com:
Passo 7
Rearranjando a equação, temos:
Resposta
A equação da superfície é
, que representa um cone circular duplo cujo eixo é o eixo
.
Exercícios relacionados
Forneça uma descrição geométrica do conjunto dos pontos no espaço cujas coordenadas satisfazem os pares de equações dadas
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Julgue a veracidade das afirmações abaixo assinalando (V) para verdadeiro e (F) para falso. Justifique sua resposta.
(a) ( ) A equação da esfera de centro e tangente ao plano
é
(a) ( ) A equação da esfera de centro
(b) ( ) O raio da esfera que contém os pontos
e
e tem seu centro no plano
é igual a 3 .
Multiplicando a edo não-exata pelo fator integrante, resolva a edo exata assim obtida.
Sejam
. Mostre que:
(a) .
(b) .
© .
(a)
(b)
©