Determine a equação da superfície definida pelo conjunto dos pontos P = (x, y, z) tais que a distância de P ao eixo dos y é 3/4 da distância de P ao plano x z. Identifique a superfície.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a equação de uma superfície formada pelos pontos que satisfazem uma condição específica de distância. Vamos precisar entender como calcular a distância de um ponto ao eixo e ao plano . Isso envolve geometria espacial e algumas fórmulas de distância.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a distância de um ponto ao eixo . O eixo é onde e . A distância de ao eixo é basicamente a distância do ponto ao ponto no plano . Usamos a fórmula da distância euclidiana:
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Passo 3

Agora, vamos calcular a distância de ao plano . O plano é onde . A distância de a esse plano é simplesmente o valor absoluto da coordenada :
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Passo 4

Segundo o enunciado, a distância de ao eixo é da distância de ao plano . Vamos traduzir isso para uma equação:

Passo 5

Para simplificar, vamos eliminar a raiz quadrada e o valor absoluto elevando ambos os lados ao quadrado:

Passo 6

Multiplicando todos os termos por 16 para eliminar a fração, ficamos com:

Passo 7

Rearranjando a equação, temos:

Resposta

A equação da superfície é , que representa um cone circular duplo cujo eixo é o eixo .

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