Determine a equação da superfície definida pelo conjunto dos pontos tais que a distância de ao eixo dos é da distância de ao plano . Identifique a superfície.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a equação de uma superfície formada pelos pontos que satisfazem uma condição específica de distância. Vamos precisar entender como calcular a distância de um ponto ao eixo e ao plano . Isso envolve geometria espacial e algumas fórmulas de distância.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a distância de um ponto ao eixo . O eixo é onde e . A distância de ao eixo é basicamente a distância do ponto ao ponto no plano . Usamos a fórmula da distância euclidiana:
â

Passo 3

Agora, vamos calcular a distância de ao plano . O plano é onde . A distância de a esse plano é simplesmente o valor absoluto da coordenada :
â

Passo 4

Segundo o enunciado, a distância de ao eixo é da distância de ao plano . Vamos traduzir isso para uma equação:

Passo 5

Para simplificar, vamos eliminar a raiz quadrada e o valor absoluto elevando ambos os lados ao quadrado:

Passo 6

Multiplicando todos os termos por 16 para eliminar a fração, ficamos com:

Passo 7

Rearranjando a equação, temos:

Resposta

A equação da superfície é , que representa um cone circular duplo cujo eixo é o eixo .

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Forneça uma descrição geométrica do conjunto dos pontos no espaço cujas coordenadas satisfazem os pares de equações dadas
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Julgue a veracidade das afirmações abaixo assinalando (V) para verdadeiro e (F) para falso. Justifique sua resposta.
(a) ( ) A equação da esfera de centro e tangente ao plano é
(b) ( ) O raio da esfera que contém os pontos e e tem seu centro no plano é igual a 3 .
Multiplicando a edo não-exata pelo fator integrante, resolva a edo exata assim obtida.
Sejam . Mostre que:
(a) .
(b) .
© .