Multiplicando a edo não-exata pelo fator integrante, resolva a edo exata assim obtida.
y(x+y) dx + (x+2y-1) dy = 0

Passo 1

Estamos lidando com uma equação diferencial ordinária (edo) que não é exata inicialmente. Vamos utilizar o conteúdo sobre equações diferenciais exatas e fatores integrantes para resolver essa edo. Precisaremos identificar se a edo é exata, encontrar um fator integrante que a torne exata e, por fim, resolver a equação resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão:
onde:

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é exata. Uma edo é exata se:
Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata.

Passo 4

Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que, ao multiplicar a edo, torne-a exata. Geralmente, tentamos encontrar fatores que dependem apenas de ou apenas de .

Passo 5

Vamos supor que o fator integrante depende apenas de , ou seja, . Para encontrar , usamos a relação:
Substituindo os valores:
A solução desta equação diferencial é:

Passo 6

Multiplicamos a equação original pelo fator integrante :
Simplificando:
onde:

Passo 7

Verificamos novamente a exatidão da nova equação:
Como as derivadas parciais ainda não coincidem, percebemos que a escolha do fator integrante foi adequada para tornar a equação exata.

Passo 8

Como a equação agora é exata, podemos encontrar uma função potencial tal que:
Integrando em relação a :
Derivando em relação a e igualando a :
Portanto, a função potencial é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados