Multiplicando a edo não-exata pelo fator integrante, resolva a edo exata assim obtida.
Passo 1
Estamos lidando com uma equação diferencial ordinária (edo) que não é exata inicialmente. Vamos utilizar o conteúdo sobre equações diferenciais exatas e fatores integrantes para resolver essa edo. Precisaremos identificar se a edo é exata, encontrar um fator integrante que a torne exata e, por fim, resolver a equação resultante.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão:
onde:
Passo 3
Agora, vamos verificar se a equação é exata. Uma edo é exata se:
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 4
Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante
que, ao multiplicar a edo, torne-a exata. Geralmente, tentamos encontrar fatores que dependem apenas de
ou apenas de
.
Passo 5
Vamos supor que o fator integrante depende apenas de
, ou seja,
. Para encontrar
, usamos a relação:
Substituindo os valores:
A solução desta equação diferencial é:
Passo 6
Multiplicamos a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
onde:
Passo 7
Verificamos novamente a exatidão da nova equação:
Como as derivadas parciais ainda não coincidem, percebemos que a escolha do fator integrante foi adequada para tornar a equação exata.
Passo 8
Como a equação agora é exata, podemos encontrar uma função potencial
tal que:
Integrando
em relação a
:
Derivando
em relação a
e igualando a
:
Portanto, a função potencial é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Determine a equação da superfície definida pelo conjunto dos pontos
tais que a distância de
ao eixo dos
é
da distância de
ao plano
. Identifique a superfície.
Forneça uma descrição geométrica do conjunto dos pontos no espaço cujas coordenadas satisfazem os pares de equações dadas
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Sejam
. Mostre que:
(a) .
(b) .
© .
(a)
(b)
©
Determine a solução geral das edo