Julgue a veracidade das afirmações abaixo assinalando (V) para verdadeiro e (F) para falso. Justifique sua resposta.
(a) ( ) A equação da esfera de centro C=(-2, 4, 1) e tangente ao plano y z é
x^2 + y^2 + z^2 + 4x - 8y - 2z + 17 = 0
(b) ( ) O raio da esfera que contém os pontos A = (3, 1, 4), B = (0, 5, 3) e C = (4, 4, 0) e tem seu centro no plano x y é igual a 3 .

Passo 1

Vamos analisar a primeira afirmação:
(a) A equação da esfera de centro e tangente ao plano é
Aqui, precisamos usar a fórmula da equação da esfera e entender como a tangência ao plano afeta a equação.

Passo 2

Primeiro, a equação geral da esfera com centro e raio é:
Substituindo o centro :
Expandindo:
Simplificando:
Comparando com a equação dada:
Notamos que , o que não é possível, já que o raio não pode ser negativo.

Passo 3

Além disso, para a esfera ser tangente ao plano , a distância do centro da esfera ao plano deve ser igual ao raio . O plano corresponde a . A distância do centro a este plano é:
Então, . Verificando na equação expandida:
Mas na equação dada, , o que está incorreto.

Passo 4

Portanto, a afirmação (a) é falsa.

Passo 5

Agora, vamos analisar a segunda afirmação:
(b) O raio da esfera que contém os pontos , e e tem seu centro no plano é igual a 3.

Passo 6

Se o centro está no plano , suas coordenadas são .
Usamos a equação da esfera para os três pontos:
Simplificando:

Passo 7

Igualamos as equações (1) e (2):
Expandindo:
Simplificando:
Rearranjando:
Dividindo por 2:

Passo 8

Igualamos as equações (2) e (3):
Expandindo:
Simplificando:
Rearranjando:
Dividindo por -2:

Passo 9

Substituímos (B) em (A):
Então:
O centro é .

Passo 10

Agora, calculamos o raio usando a equação (3):

Resposta

(a) Falso.
(b) Falso.

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