Julgue a veracidade das afirmações abaixo assinalando (V) para verdadeiro e (F) para falso. Justifique sua resposta.
(a) ( ) A equação da esfera de centro
e tangente ao plano
é
(b) ( ) O raio da esfera que contém os pontos
e
e tem seu centro no plano
é igual a 3 .
(a) ( ) A equação da esfera de centro
Passo 1
Vamos analisar a primeira afirmação:
(a) A equação da esfera de centro e tangente ao plano
é
(a) A equação da esfera de centro
Aqui, precisamos usar a fórmula da equação da esfera e entender como a tangência ao plano
afeta a equação.
Passo 2
Primeiro, a equação geral da esfera com centro
e raio
é:
Substituindo o centro
:
Expandindo:
Simplificando:
Comparando com a equação dada:
Notamos que
, o que não é possível, já que o raio não pode ser negativo.
Passo 3
Além disso, para a esfera ser tangente ao plano
, a distância do centro da esfera ao plano deve ser igual ao raio
. O plano
corresponde a
. A distância do centro
a este plano é:
Então,
. Verificando na equação expandida:
Mas na equação dada,
, o que está incorreto.
Passo 4
Portanto, a afirmação (a) é falsa.
Passo 5
Agora, vamos analisar a segunda afirmação:
(b) O raio da esfera que contém os pontos ,
e
e tem seu centro no plano
é igual a 3.
(b) O raio da esfera que contém os pontos
Passo 6
Se o centro está no plano
, suas coordenadas são
.
Usamos a equação da esfera para os três pontos:
Simplificando:
Passo 7
Igualamos as equações (1) e (2):
Expandindo:
Simplificando:
Rearranjando:
Dividindo por 2:
Passo 8
Igualamos as equações (2) e (3):
Expandindo:
Simplificando:
Rearranjando:
Dividindo por -2:
Passo 9
Substituímos (B) em (A):
Então:
O centro é
.
Passo 10
Agora, calculamos o raio usando a equação (3):
Resposta
(a) Falso.
(b) Falso.
(b) Falso.
Exercícios relacionados
Multiplicando a edo não-exata pelo fator integrante, resolva a edo exata assim obtida.
Sejam
e
. Determine equações paramétricas para a reta
que passa pelo pontos
e é ortogonal aos vetores
e
.
Forneça uma descrição geométrica do conjunto dos pontos no espaço cujas coordenadas satisfazem os pares de equações dadas
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Determine a equação da superfície definida pelo conjunto dos pontos
tais que a distância de
ao eixo dos
é
da distância de
ao plano
. Identifique a superfície.