Determine uma equação vetorial e equações paramétricas para a reta A reta que passa por (1,-1,1) e é paralela à reta x+2=12 y=z-3

Passo 1

Beleza, a gente precisa encontrar a equação vetorial e as equações paramétricas de uma reta que passa pelo ponto e que é paralela à reta dada pela equação . Vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre equações de retas no espaço e vetores diretores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação da reta que nos foi dada: . Essa forma é conhecida como equação simétrica da reta e nos permite identificar o vetor diretor da reta.

Passo 3

Para encontrar o vetor diretor, vamos reescrever a equação simétrica em termos paramétricos. Se deixarmos todas as expressões iguais a um parâmetro x = -2 + t, y = 2t, z = 3 + t , temos:
d = 1 2 1
Aqui, o vetor diretor é dado pelos coeficientes de em cada uma das coordenadas, ou seja:

Passo 4

Agora que temos o vetor diretor da reta original, sabemos que a reta que queremos encontrar será paralela a ela e, portanto, terá o mesmo vetor diretor.

Passo 5

Com o ponto 1 2 1 e o vetor diretor r = r0 + td , podemos escrever a equação vetorial da nova reta. A equação vetorial é dada por:
onde é o vetor posição do ponto .

Passo 6

Substituindo os valores, temos:
r = 1 -1 1 + t 1 2 1

Passo 7

Agora, vamos separar isso em equações paramétricas. Isso significa escrever cada coordenada em função de x = 1 + t :
y = -1 + 2t
z = 1 + t

Resposta

A equação vetorial da reta é:
r = 1 -1 1 + t 1 2 1 , t in R
E as equações paramétricas da reta são:
x = 1 + t
y = -1 + 2t
z = 1 + t

Exercícios relacionados