Determine uma equação vetorial e equações paramétricas para a reta A reta que passa por e é paralela à reta
Passo 1
Beleza, a gente precisa encontrar a equação vetorial e as equações paramétricas de uma reta que passa pelo ponto e que é paralela à reta dada pela equação . Vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre equações de retas no espaço e vetores diretores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação da reta que nos foi dada: . Essa forma é conhecida como equação simétrica da reta e nos permite identificar o vetor diretor da reta.
Passo 3
Para encontrar o vetor diretor, vamos reescrever a equação simétrica em termos paramétricos. Se deixarmos todas as expressões iguais a um parâmetro , temos:
Aqui, o vetor diretor é dado pelos coeficientes de em cada uma das coordenadas, ou seja:
Passo 4
Agora que temos o vetor diretor da reta original, sabemos que a reta que queremos encontrar será paralela a ela e, portanto, terá o mesmo vetor diretor.
Passo 5
Com o ponto 1 2 1 e o vetor diretor r = r0 + td , podemos escrever a equação vetorial da nova reta. A equação vetorial é dada por:
onde é o vetor posição do ponto .
Passo 6
Substituindo os valores, temos:
r = 1 -1 1 + t 1 2 1
Passo 7
Agora, vamos separar isso em equações paramétricas. Isso significa escrever cada coordenada em função de x = 1 + t :