Prove as séries infinitas utilizando a Expansão de Taylor centrada em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que a função
pode ser escrita como a soma infinita
, usando a Expansão de Taylor centrada em
. Isso significa que vamos usar a série de Taylor, também conhecida como série de Maclaurin quando centrada em zero, para mostrar que essas duas expressões são iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Série de Taylor. É uma maneira de representar uma função como uma soma infinita de termos baseados nas derivadas da função em um ponto específico. No nosso caso, o ponto é
.
A fórmula geral da série de Taylor para uma função
centrada em
é:
Como estamos centrando em
(série de Maclaurin), a fórmula fica:
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa função
. Primeiro, precisamos encontrar as derivadas de
e avaliá-las em
.
A função
e suas derivadas são:
E assim por diante. Observamos um padrão nas derivadas:
Passo 4
Agora, vamos avaliar cada derivada em
:
Substituindo na fórmula da série de Maclaurin:
Passo 5
Portanto, mostramos que:
Para que essa igualdade seja válida, a série converge quando
.
Resposta
Concluímos que, utilizando a Expansão de Taylor centrada em
,
é igual à soma infinita
, válida para
.