Prove as séries infinitas utilizando a Expansão de Taylor centrada em x=0. 11-x=sumn=0^infty x^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que a função pode ser escrita como a soma infinita , usando a Expansão de Taylor centrada em . Isso significa que vamos usar a série de Taylor, também conhecida como série de Maclaurin quando centrada em zero, para mostrar que essas duas expressões são iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Série de Taylor. É uma maneira de representar uma função como uma soma infinita de termos baseados nas derivadas da função em um ponto específico. No nosso caso, o ponto é f(x) = sumn=0^infty f^(n)(a)n! (x - a)^n .
A fórmula geral da série de Taylor para uma função f(x) = sumn=0^infty f^(n)(0)n! x^n centrada em é:
Como estamos centrando em (série de Maclaurin), a fórmula fica:

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa função f(x) = (1 - x)^-1 . Primeiro, precisamos encontrar as derivadas de f'(x) = (1 - x)^-2 e avaliá-las em f''(x) = 2(1 - x)^-3 .
A função f'''(x) = 6(1 - x)^-4 e suas derivadas são:
f^(n)(x) = n! cdot (1 - x)^-(n+1)
E assim por diante. Observamos um padrão nas derivadas:

Passo 4

Agora, vamos avaliar cada derivada em f^(n)(0) = n! cdot (1 - 0)^-(n+1) = n! cdot 1 = n! :
f(x) = sumn=0^infty n!n! x^n = sumn=0^infty x^n
Substituindo na fórmula da série de Maclaurin:

Passo 5

Portanto, mostramos que:
11 - x = sumn=0^infty x^n
Para que essa igualdade seja válida, a série converge quando .

Resposta

Concluímos que, utilizando a Expansão de Taylor centrada em , é igual à soma infinita , válida para .

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