A equação
representa uma elipse. Obter a equação da mesma elipse uma vez efetuada a rotação de eixos de amplitude
no sentido anti- horario
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação
, que representa uma elipse. Nosso objetivo é encontrar a equação dessa mesma elipse depois de girar os eixos em
no sentido anti-horário. Para isso, vamos precisar usar a rotação de eixos, que é uma técnica para simplificar equações de conicas eliminando o termo cruzado
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a rotação de eixos. Quando giramos os eixos em um ângulo
, as novas coordenadas
estão relacionadas com as antigas
pelas fórmulas:
No nosso caso,
. Sabemos que
. Vamos substituir esses valores nas fórmulas.
Passo 3
Substituindo
nas fórmulas de rotação:
Agora, vamos substituir
e
na equação original da elipse com essas expressões.
Passo 4
Substituindo na equação
:
Vamos simplificar cada termo passo a passo.
Passo 5
Calculando
:
Multiplicando por 5:
Passo 6
Calculando
:
Multiplicando por 6:
Passo 7
Calculando
:
Multiplicando por 5:
Passo 8
Agora, juntando todos os termos na equação:
Vamos simplificar somando termos semelhantes:
Simplificando:
Passo 9
Finalmente, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 2:
Ou rearranjando:
Resposta
A equação da elipse após a rotação dos eixos em
no sentido anti-horário é: