A equação 5 x^2+6 x y+5 y^2-8=0 representa uma elipse. Obter a equação da mesma elipse uma vez efetuada a rotação de eixos de amplitude theta=45^circ no sentido anti- horario

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação , que representa uma elipse. Nosso objetivo é encontrar a equação dessa mesma elipse depois de girar os eixos em no sentido anti-horário. Para isso, vamos precisar usar a rotação de eixos, que é uma técnica para simplificar equações de conicas eliminando o termo cruzado .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a rotação de eixos. Quando giramos os eixos em um ângulo x = x' costheta - y' sintheta , as novas coordenadas y = x' sintheta + y' costheta estão relacionadas com as antigas pelas fórmulas:
No nosso caso, . Sabemos que . Vamos substituir esses valores nas fórmulas.

Passo 3

Substituindo x = x' cdot raiz22 - y' cdot raiz22 = raiz22(x' - y') nas fórmulas de rotação:
y = x' cdot raiz22 + y' cdot raiz22 = raiz22(x' + y')
Agora, vamos substituir e na equação original da elipse com essas expressões.

Passo 4

Substituindo na equação 5(raiz22(x' - y'))^2 + 6(raiz22(x' - y'))(raiz22(x' + y')) + 5(raiz22(x' + y'))^2 - 8 = 0 :
Vamos simplificar cada termo passo a passo.

Passo 5

Calculando (raiz22(x' - y'))^2 = 24(x' - y')^2 = 12(x'^2 - 2x'y' + y'^2) :
5 cdot 12(x'^2 - 2x'y' + y'^2) = 52x'^2 - 5x'y' + 52y'^2
Multiplicando por 5:

Passo 6

Calculando (raiz22(x' - y'))(raiz22(x' + y')) = 24(x' - y')(x' + y') = 12(x'^2 - y'^2) :
6 cdot 12(x'^2 - y'^2) = 3x'^2 - 3y'^2
Multiplicando por 6:

Passo 7

Calculando (raiz22(x' + y'))^2 = 24(x' + y')^2 = 12(x'^2 + 2x'y' + y'^2) :
5 cdot 12(x'^2 + 2x'y' + y'^2) = 52x'^2 + 5x'y' + 52y'^2
Multiplicando por 5:

Passo 8

Agora, juntando todos os termos na equação:
(52x'^2 - 5x'y' + 52y'^2) + (3x'^2 - 3y'^2) + (52x'^2 + 5x'y' + 52y'^2) - 8 = 0
Vamos simplificar somando termos semelhantes:
52x'^2 + 3x'^2 + 52x'^2 + (-5x'y' + 5x'y') + 52y'^2 - 3y'^2 + 52y'^2 - 8 = 0
Simplificando:
(52 + 3 + 52)x'^2 + ( -5 + 5 )x'y' + (52 - 3 + 52)y'^2 - 8 = 0
(5 + 3)x'^2 + 0x'y' + (5 - 3)y'^2 - 8 = 0
8x'^2 + 2y'^2 - 8 = 0

Passo 9

Finalmente, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 2:
4x'^2 + y'^2 - 4 = 0
Ou rearranjando:
4x'^2 + y'^2 = 4

Resposta

A equação da elipse após a rotação dos eixos em 4x'^2 + y'^2 = 4 no sentido anti-horário é:

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